Esercizio: Integrale indefinito

[Raffit]

Salve ragazzi, mi sto scervellando su un esercizio ma proprio non mi riesce.
Il testo è:
\(\int (1-2x-2x^2)e^(-x) dx \)
La soluzione è: \(e^(-x)(2x^2 + 6x +5)\)
Sto provando a risolvere usando l'integrazione per parti dove f(x) è \(e^(-x)\) e g(x) è \(1-2x-2x^2\) e mi viene questo:
\(e^(-x)(1-2x-2x^2) - \int e^(-x) (-2-4x) dx\) =
\(e^(-x)(1-2x-2x^2) - ( e^(-x) (-2-4x) - \int -4e^(-x) dx)\) =
\(e^(-x)(1-2x-2x^2) - ( e^(-x) (-2-4x) -4e^(-x))\)=
\(e^(-x)(7-2x-2x^2)\)

So che è confusionario, spero di aver scritto tutto correttamente.
Qualcuno può spiegarmi dove sbaglio? Grazie in anticipo

[Brancaleone1]

$int(f cdot g')dx=f cdot g - int(f' cdot g)dx$

$int(1-2x-2x^2)e^(-x)dx=$
$=(1-2x-2x^2)(-e^(-x))-int(-2-4x)(-e^(-x))dx=$
$=(1-2x-2x^2)(-e^(-x))-[(-2-4x)e^(-x)-int(-4e^(-x))dx]=$
$=(1-2x-2x^2)(-e^(-x))+(2+4x)e^(-x)+4e^(-x)+c=$
$=(-1+2x+2x^2+2+4x+4)e^(-x)+c=$
$=(2x^2+6x+5)e^(-x)+c$

[Raffit]

Ciao, grazie per la risposta, non mi è chiara però una cosa. Perchè \(e^(-x)\) diventa \(-e^(-x)\) ?

[Brancaleone1]

Perché viene integrato:

$int e^(-x)dx=-e^(-x)(+c)$

[21zuclo]

Tutto ok per Brancaleone

dico solamente all'utente Raffit un modo per ricordare la formula

"Brancaleone":
$int(f cdot g')dx=f cdot g - int(f' cdot g)dx$

la formula scritta a parole è l'integrale del prodotto di un fattore finito $f(x)$ per un fattore differenziale $dg(x)=g'(x)dx$ è uguale al prodotto del fattore finito per l'integrale $g(x)$ del fattore differenziale, meno del prodotto dell'integrale trovato $g(x)$ per il fattore differenziale $f'(x)dx$ del fattore finito

per esempio prendi quest'integrale $\int \ln(x)dx$

prendo $f(x)=\ln x$ e $g'(x)=1$, perchè l'integrale lo puoi vedere $\int 1\cdot \ln(x)dx$

ok eseguiamo la formula, $\int g'(x)=\int dx= x$ e $f'(x)=D(\ln(x))=1/x$

$\int \ln(x)dx=\ln(x)\cdot x - \int x\cdot 1/x dx=\ln(x)\cdot x-\int dx=\ln(x)\cdot x-x+C=x(\ln(x)-1)+C$

[Raffit]

Ora ho capito. Non avevo tenuto conto del termine da integrare, grazie mille per l'aiuto!