Esercizio - Integrale improprio 2

[Seneca1]

$int_1^(+oo) ( log^a(x))/(x^a + log^a(x)) dx$

Come si fa a stabilire se l'integrale in questione converge? Non ho idee.

EDIT: penso che il tutto si possa ricondurre a studiare la convergenza dell'integrale:

$int_1^(+oo) ( ( log(x))/x )^a dx$

[ciampax]

Dunque, per prima cosa mi pare che capiti la cosa seguente:

se [tex]$\alpha\ge 0$[/tex] bisogna studiare il comportamento solo all'infinito;
se [tex]$\alpha<0$[/tex] allora bisogna vedere anche cosa accade in [tex]$x=1$[/tex]

Ora, per il comportamento all'infinito io procederei così: riscrivi l'integrale con la sostituzione [tex]$x=1/t$[/tex] in modo da ricondurti il problema ad un intorno destro dello zero. Fatto questo, mi pare abbastanza facile ragionare per confronto locale utilizzando il limite notevole [tex]$\lim_{x\to 0^+} x^\beta \log^\gamma x=0,\ \alpha,\beta>0$[/tex] e le ovvie ulteriori conseguenze.

Quando invece lavori con [tex]$\alpha<0$[/tex] e devi considerare il caso [tex]$x=1$[/tex] io porrei [tex]$x=1+t$[/tex] e di nuovo ragionerei per confronti locali (dovrebbe venire molto semplice).

Sinceramente non ho fatto i conti precisi, ma mi sembra una buona strada (a meno di non trovarsi impelagati con limiti bislacchi!).

[Seneca1]

"Seneca":
$int_1^(+oo) ( ( log(x))/x )^a dx$

Ho già un dubbio... Come cambiano gli estremi di integrazione quando faccio una sostituzione di variabile in un integrale improprio?

$int_1^(+oo)$ ... con la sostituzione $x = 1/t$ diviene $int_1^(0) = - int_0^(1)$

Oppure scrivo sciocchezze?

[ciampax]

No, scrivi bene. Il ragionamento "giusto" sarebbe quello di pensare all'integrale improprio come [tex]$\lim_{z\to+\infty}\int_1^z$[/tex] e con la sostituzione ottenere [tex]$\lim_{z\to +\infty}\int_1^{1/z}=-\lim_{h\to 0^+}\int_h^1$[/tex].