Esercizio integrale improprio

[suppatruppa]

Sto iniziando a muovere qualche passo negli esercizi sugli integrali impropri e mi trovo già con un dubbio su questo esercizio:

$\int_0^(+∞) e^(-x^2) dx$
In modo stolto io l'avevo impostato dicendo essendo e^y esponenziale essa è compresa tra 0 e 1,cioè $0
Poi ho guardato sul libro ed è ovviamente sbagliato , ma non capisco la falla di questo ragionamento seppur sciocco.

[Bokonon]

"suppatruppa":Sto iniziando a muovere qualche passo negli esercizi sugli integrali impropri e mi trovo già con un dubbio su questo esercizio:

$\int_0^(+∞) e^(-x^2) dx$
In modo stolto io l'avevo impostato dicendo essendo e^y esponenziale essa è compresa tra 0 e 1,cioè $0
Poi ho guardato sul libro ed è ovviamente sbagliato , ma non capisco la falla di questo ragionamento seppur sciocco.

Il grafico dovrebbe toglierti ogni dubbio

E' una curva famosa (gaussiana) e non ha un integrale indefinito esprimibile con funzioni elementari.
Ci sono più modi però per trovare l'area da + a - infinito.
Il mio preferito è quello in cui si passa ad un integrale doppio per sfruttare il passaggio in coordinate polar.
Non ho voglia di scriverlo, guardati il dr. Peyam in azione
https://www.youtube.com/watch?v=HDrYzdyc41c

[feddy]

"Bokonon":E' una curva famosa (gaussiana) e non ha un integrale indefinito esprimibile con funzioni elementari.
Ci sono più modi però per trovare l'area da + a - infinito.

Sono abbastanza sicuro che lo spirito dell'esercizio non sia il fatto di saper calcolare esplicitamente l'integrale, o notare che è una gaussiana, bensì tramite maggiorazioni opportune mostrare che questo converga usando risultati di teoria.

Poiché $ [0,+\infty) = [0,1] \cup (1, \+infty)$, se spezzi l'integrale nella somma di due integrali, il primo (quello su $[0,1]$) è ovviamente convergente, mentre resta da verificare che $\int_{1}^{+\infty} e^{-x^2} dx < \+infty$. Per $x \in [1, +\infty)$ vale che $x \leq x^2$, da cui, poichè la funzione $t \mapsto exp(t)$ è strettamente monotona, vale che $e^{-x^2} \leq e^{-x}$. Poiché $\int_{1}^{+\infty} e^{-x}dx = e^{-1}$, allora l'integrale converge per confronto e quindi l'intergrale di partenza converge, poiché somma di integrali convergenti.

"suppatruppa": essendo $\int_{0}^{+\infty}1dx=1$

L'errore è qui.

[suppatruppa]

"feddy":L'errore è qui.

Sì, vabbé. Ciao ragazzi vado a nascondermi per sempre

[feddy]

L'importante è accorgersene

[suppatruppa]

"feddy":L'importante è accorgersene

Grazie per il supporto nello sconforto