Esercizio: integrale improprio
Un saluto a tutti, per cominciare. L' integrale in questione è: $ I(f_alpha)=int_0^(+oo)(sen(alphax))/(x^alpha(|log(alphax)|+1)dx $
la domanda che voglio porvi è questa: la funzione integranda ha come dominio $D(f_(alpha)):={x>0}$
Ora io ho $ I=int_0^(+oo)f_alpha(x)dx=int_0^epsilonf_alpha(x)dx+int_epsilon^(+oo)f_alpha(x)dx=I_1+I_2 (epsilon=1) $ dunque studio la convergenza del primo integrale ed ho che: $lim_(x->0)(sen(alphax))/(x^alpha(|log(alphax)|+1))=_(x->0)(alphax)/(x^alpha(|alphax-1|+1))=_(x->0)(1/x^alpha)$(per il seno e il logaritmo ho utilizzato Taylor)... e dunque mi viene che $I_1$ converge se e solo se converge $int_0^(epsilon)(1/x^alpha)$ e cioè se $alpha<1$. Il mio professore però dice che esso è convergente se e solo se $alpha<2$ perchè lui non sviluppa con Taylor il logaritmo ma lo lascia così com' è. Ora quello che vorrei sapere è:
1) ho sbagliato io? Se si' perchè? Il logaritmo non ha bisogno di essere sviluppato? se no perchè?
Nello studio di $I_2$ ho proceduto così:
$int_epsilo^(+oo)|sen(alphax)|/(x^alpha*(|log(alphax)|+1))(\sim)_(x->+oo)(1/(x^alpha(|log(alphax)|+1))=>int_(epsilon)^(+oo)1/x^alpha<+oo<=>alpha>1$ mentre al mio professore dice che converge $\veealphainR_+$... Perchè?
Grazie per l' attenzione
la domanda che voglio porvi è questa: la funzione integranda ha come dominio $D(f_(alpha)):={x>0}$
Ora io ho $ I=int_0^(+oo)f_alpha(x)dx=int_0^epsilonf_alpha(x)dx+int_epsilon^(+oo)f_alpha(x)dx=I_1+I_2 (epsilon=1) $ dunque studio la convergenza del primo integrale ed ho che: $lim_(x->0)(sen(alphax))/(x^alpha(|log(alphax)|+1))=_(x->0)(alphax)/(x^alpha(|alphax-1|+1))=_(x->0)(1/x^alpha)$(per il seno e il logaritmo ho utilizzato Taylor)... e dunque mi viene che $I_1$ converge se e solo se converge $int_0^(epsilon)(1/x^alpha)$ e cioè se $alpha<1$. Il mio professore però dice che esso è convergente se e solo se $alpha<2$ perchè lui non sviluppa con Taylor il logaritmo ma lo lascia così com' è. Ora quello che vorrei sapere è:
1) ho sbagliato io? Se si' perchè? Il logaritmo non ha bisogno di essere sviluppato? se no perchè?
Nello studio di $I_2$ ho proceduto così:
$int_epsilo^(+oo)|sen(alphax)|/(x^alpha*(|log(alphax)|+1))(\sim)_(x->+oo)(1/(x^alpha(|log(alphax)|+1))=>int_(epsilon)^(+oo)1/x^alpha<+oo<=>alpha>1$ mentre al mio professore dice che converge $\veealphainR_+$... Perchè?
Grazie per l' attenzione
Risposte
Ciao. Ti rispondo velocemente:
quest'uguaglianza è errata, in quanto la x al numeratore si mangia una x al denominatore (detto in modo molto spiccio
) e chiaramente $1/(|alphax-1|+1)$ non dà contributi per x che va a 0.
La seconda parte è più complicata: sicuramente se $\alpha >1$ il tuo ragionamento va bene e l'integrale converge. Tuttavia dovresti mostrare che se l'integrale converge allora effetivamente $\alpha >1$. Questo non mi sembra vero.
Utilizzando il Criterio di Abel, mi sembra che l'integrale converga per ogni $\alpha > 0$. Infatti l'integrale di $sen(\alpha x)$ è uniformemente limitato (oscilla tra 0 e 2) e la funzione $ \frac{1}{x^\alpha(|log(\alphax)| + 1}$ è monotona decrescente per $x > 1/\alpha$, positiva, e $lim_{x\to\+infty} \frac{1}{x^\alpha(|log(\alphax)| + 1} = 0$.
$ \lim_(x->0)(alphax)/(x^alpha(|alphax-1|+1))=\lim_(x->0)(1/x^alpha) $
quest'uguaglianza è errata, in quanto la x al numeratore si mangia una x al denominatore (detto in modo molto spiccio
) e chiaramente $1/(|alphax-1|+1)$ non dà contributi per x che va a 0.La seconda parte è più complicata: sicuramente se $\alpha >1$ il tuo ragionamento va bene e l'integrale converge. Tuttavia dovresti mostrare che se l'integrale converge allora effetivamente $\alpha >1$. Questo non mi sembra vero.
Utilizzando il Criterio di Abel, mi sembra che l'integrale converga per ogni $\alpha > 0$. Infatti l'integrale di $sen(\alpha x)$ è uniformemente limitato (oscilla tra 0 e 2) e la funzione $ \frac{1}{x^\alpha(|log(\alphax)| + 1}$ è monotona decrescente per $x > 1/\alpha$, positiva, e $lim_{x\to\+infty} \frac{1}{x^\alpha(|log(\alphax)| + 1} = 0$.
ho capito... Praticamente mi stai dicendo che posso considerare l' integrale come : $int_epsilon^(+oo)f_(alpha)(x)dx=int_epsilon^(+oo)g(x)*h(x)$ dove $g(x)=sen(alphax)$ che ha primitiva ed è anche limitata chiusa per qualsiasi intervallo e $h(x)=1/(x^alpha(|log(alphax)|+1)=_(x->+oo)0)$ (cioè è infinitesima). Dunque secondo il criterio di cui parli l' integrale è convergente, in quanto sono rispettate tutte le ipotesi... Ma ho ancora un dubbio: in generale quando ho $int_a^(+oo)1/(x^alpha(log^beta(x))$ la convergenza è assicurata se e solo se $i)alpha=1=>beta>1\and alpha>1=>\forall beta$ .. Dunque affinchè, come in questo caso in cui invece l' integrale converge per ogni alfa, sia assicurata la convergenza è necessario avere una funzione limitata che qui corrisponde a $sen(alphax)$ ? E in generale questo criterio è sempre valido? Cioè questa è una condizione necessaria e sufficente? Grazie ancora Lumi...
Dunque affinchè, come in questo caso in cui invece l' integrale converge per ogni alfa, sia assicurata la convergenza è necessario avere una funzione limitata che qui corrisponde a sen(αx) ?
Esattamente: il criterio di Abel per la convergenza degli integrali generalizzati richiede che per ogni intervallo $(a,b) \subset (1, +\infty)$ la prima funzione, che chiamerò $f$, sia UNIFORMEMENTE limitata, cioè esiste $K>0$ t.c. per ogni intervallo $(a,b)$ vale:
$|\int_a^b f(x) dx| \leq K$.
Si noti che nel nostro caso $sen(\alpha x)$ ha questa proprietà, mentre $f \equiv 1$ no, visto che il suo integrale è la misura dell'intervallo $(a,b)$. Infatti come correttamente hai ricordato la funzione $\frac{1}{x log(x)}$ non è integrabile in $(1,+\infty)$.
E in generale questo criterio è sempre valido? Cioè questa è una condizione necessaria e sufficente?
No, è un criterio che dà condizioni sufficienti all'integrabilità, ma non necessarie. Ad esempio
$\int_1^{+\infty} x \frac{1}{x^3} dx$
non soddisfa le ipotesi del criterio, ma l'integrale converge.
Nel tuo caso comunque è chiaro che $\alpha$ non può essere minore o uguale di 0 per condizioni di esistenza del logaritmo.
Vorrei chiedere un' ultima cosa: l' integrale di Stieltjes è un integrale che viene definito proprio come il caso in questione:
$ int_a^bf(x)dg(x) $ ove $dg(x)$ è semplicemente un modo di designare la suddivisione di $A:=[a,b]$ (attraverso g) e $f(x)$ è limitata $\forall x inA\subseteqR$.Detto ciò vale la seguente:
1)Condizione necessaria e sufficiente perchè una funzione limitata f sia integrabile su $A=[a,b]$ rispetto alla funzione monotona g, è che, per ogni $epsilon>0$ si possa trovare una suddivisione D di A per la quale risulti:
$S-s
[TEO] se f è continua su A e g è monotona, allora $int_a^bf(x)dg(x)$ esiste ed è finito.
[TEO] se f è monotona e g e monotona e continua allora $int_a^bfdg(x)$ esiste
Inoltre valendo le proprietà di linearità rispetto alla funzione integratrice e additività rispetto all' intervallo di integrazione si può dimostrare:
Proposiozione:sia $finC^0([a,b]),ginC^1([a,b])$,g monotona. Vale allora la seguente uguaglianza
$int_a^bfdg=int_a^bf(x)g'(x)dx$.
Dunque rispettando le ipotesi si vede che l' integrale la cui suddivisione di A era prima data da $[g(x_(i+1))-g(x_i)]$ è uguale all' integrale di Riemann: $int_a^bf(x)g'(x)dx$ in cui si presenta la derivata di ciò che prima era $dg$ e con la comparsa della suddivisione di A data da $[x_(i+1)-x_(i)=dx]$... E questo mi sembra un discorso che può essere associato al caso discusso. Che ne pensi?
$ int_a^bf(x)dg(x) $ ove $dg(x)$ è semplicemente un modo di designare la suddivisione di $A:=[a,b]$ (attraverso g) e $f(x)$ è limitata $\forall x inA\subseteqR$.Detto ciò vale la seguente:
1)Condizione necessaria e sufficiente perchè una funzione limitata f sia integrabile su $A=[a,b]$ rispetto alla funzione monotona g, è che, per ogni $epsilon>0$ si possa trovare una suddivisione D di A per la quale risulti:
$S-s
[TEO] se f è continua su A e g è monotona, allora $int_a^bf(x)dg(x)$ esiste ed è finito.
[TEO] se f è monotona e g e monotona e continua allora $int_a^bfdg(x)$ esiste
Inoltre valendo le proprietà di linearità rispetto alla funzione integratrice e additività rispetto all' intervallo di integrazione si può dimostrare:
Proposiozione:sia $finC^0([a,b]),ginC^1([a,b])$,g monotona. Vale allora la seguente uguaglianza
$int_a^bfdg=int_a^bf(x)g'(x)dx$.
Dunque rispettando le ipotesi si vede che l' integrale la cui suddivisione di A era prima data da $[g(x_(i+1))-g(x_i)]$ è uguale all' integrale di Riemann: $int_a^bf(x)g'(x)dx$ in cui si presenta la derivata di ciò che prima era $dg$ e con la comparsa della suddivisione di A data da $[x_(i+1)-x_(i)=dx]$... E questo mi sembra un discorso che può essere associato al caso discusso. Che ne pensi?
In questo momento sono un po' di fretta, quindi ti risponderò brevemente.
L'integrale di Stieltjes si può vedere come l'integrale rispetto ad una misura di Stieltjes o di Radon-Stieltjes. In particolare, se una funzione è a variazione limitata (ad esempio se è monotona e limitata), si può associare alla sua variazione totale una misura di Stieltjes.
Nel caso del primo teorema che definisci, secondo me manca qualche ipotesi sul fatto che g deve avere variazione totale finita (ad esempio deve essere limitata).
Come giustamente hai intuito, il criterio di Abel è legato agli argomenti sopracitati.
Se guardi la dimostrazione, essa si basa sul fatto di poter integrare per parti $\int_a^b f(x)g(x) dx$, in quanto $g$ essendo monotona è derivabile quasi ovunque, e $dg(x) = - g'(x)dx$. Infatti si può dimostrare la seguente formula di integrazione per parti:
TEOREMA: Siano $F,G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ crescenti e continue a destra. Supponiamo inoltre che $F$ e $G$ non abbiano punti di discontinuità comuni. Allora:
$$\int_{]a,b]} F(x) dG(x) + \int_{]a,b]} G(x) dF(x) = F(b)G(b) - F(a)G(a)$$
Spero di aver risposto alla tua domanda
L'integrale di Stieltjes si può vedere come l'integrale rispetto ad una misura di Stieltjes o di Radon-Stieltjes. In particolare, se una funzione è a variazione limitata (ad esempio se è monotona e limitata), si può associare alla sua variazione totale una misura di Stieltjes.
Nel caso del primo teorema che definisci, secondo me manca qualche ipotesi sul fatto che g deve avere variazione totale finita (ad esempio deve essere limitata).
Come giustamente hai intuito, il criterio di Abel è legato agli argomenti sopracitati.
Se guardi la dimostrazione, essa si basa sul fatto di poter integrare per parti $\int_a^b f(x)g(x) dx$, in quanto $g$ essendo monotona è derivabile quasi ovunque, e $dg(x) = - g'(x)dx$. Infatti si può dimostrare la seguente formula di integrazione per parti:
TEOREMA: Siano $F,G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ crescenti e continue a destra. Supponiamo inoltre che $F$ e $G$ non abbiano punti di discontinuità comuni. Allora:
$$\int_{]a,b]} F(x) dG(x) + \int_{]a,b]} G(x) dF(x) = F(b)G(b) - F(a)G(a)$$
Spero di aver risposto alla tua domanda
Ho capito grazie mille per l' aiuto Lumi!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo