Esercizio integrale improprio.

[Chiara914]

sia $ \int x^{\beta} sin(x^{\alpha}) dx$ tra 1 e $+propto$ con $\beta$ reale e $\alpha > 0$ .Verificare che converge assolutamente se $\beta\ < -1$ e $\alpha>0$; converge semplicemente se -1 $\leq \beta < \alpha -1 $ e non converge altrimenti.
Ho provato sostituendo $t= x^{\alpha}$ ma non mi pare porti dei grandi miglioramenti.Come si potrebbe procedere?

[Zero87]

"Chiara91":sia $ \int x^{\beta} sin(x^{\alpha}) dx$ tra 1 e $+propto$ con $\beta$ reale e $\alpha > 0$ .Verificare che converge assolutamente se $\beta\ < -1$

Intanto per la convergenza assoluta
$|x^(\beta) sin(x^(\alpha))|=x^(\beta) |sin(x^(\alpha))|\le x^(\beta)$
Da cui
$\int_1^(\infty) |x^(\beta)||sin(x^(\alpha))| dx \le \int_1^(\infty) x^(\beta) dx = ...$
ecc...
Dove converge il secondo, converge anche il primo per il criterio del confronto.

In tutto questo, ricordo che
- $|sin(...)|\le 1$
- $|x^(...)|=x^(...)$ poiché l'esponenziale (reale) è sempre positivo.


Per il resto non ho molte idee: ne butto giù una così.
Sono propenso a dividere così l'integrando
$x^(\beta) sin(x^(\alpha)) = x^(\beta-(\alpha-1) + (\alpha-1)) sin(x^(\alpha))= x^(\beta-(\alpha-1)) \cdot [x^(\alpha-1) sin(x^(\alpha))]$
in modo da isolare nella parentesi quadra la derivata di una funzione composta (a parte le costanti, ovvio), nel mio caso $-cos(x^(\alpha))$.

Magari operando un paio di volte l'integrazione per sostituzione si arriva daccapo, ma invece ho paura che non porti a nulla e sia uno di quei casi dove si va avanti a sostituire all'infinito...

[Noisemaker]

Per questo tipo di integrali impropri, vale il criterio di Abel-Dirichlet:

Se la funzione $f(x)$ è il prodotto delle due funzioni $g(x)$ $h(x)$ delle quali:

[*:2nhfam50]$g(x)$ è limitata e integrabile in ogni intervallo $(a_1,b_1)\subset(a+\infty)$ e se esiste una costante $K$ tale che per ogni $(a_1,b_1)$
\begin{align*}
\left|\int_{a_1}^{b_1} g(x)\,\,dx\right| \end{align*} [/*:m:2nhfam50]
[*:2nhfam50]se $h(x)$ è monotona ed infinitesima in $(a, +\infty)$ per $x\to+\infty ,$
[/*:m:2nhfam50][/list:u:2nhfam50]
allora l'integrale improprio
\begin{align*}
\int_{a}^{+\infty} g(x)h(x)\,\,dx
\end{align*}
è convergente.

[Chiara914]

Grazie mille ad entrambi! Visto che ci sono ne approfitto per fare un'altra domanda(un po' stupida lo so,ma gli integrali impropri non sono il mio forte)
$\int_1^{\frac{3}{2}} \frac{sqrt{x-1}}{sqrt(x^{3})-1}$ immagino che si risolva con il teorema del confronto ma non riesco a trovare minorazioni\maggiorazioni adatte

[Brancaleone1]

Guarda qui

[Chiara914]

Perdona l'ignoranza, per $h$ si intende l'estremo di integrazione? e per "ord"?
abuso un po' della vostra pazienza: è giusto questo procedimento?
Eercizio:Dimostrare per quali $\alpha$ è convergente il seguente integrale generalizzato:
$\int_{0}^{pi} \frac{(sin(x))^{\alpha}}{e^{x}-1} $
Io ho fatto così: essendo $e^{x}-1~ x$ e $sin(x) ~ x$ per $x$ che tende a $0$ allora sostiutendo si ottiene $x^{\alpha-1}$ che converge se e solo se $\alpha>0$.

[Brancaleone1]

"Chiara91":[quote="Brancaleone nel link che ha postato"]Certo!
Ricorda che per valutare la convergenza di un integrale improprio $int_alpha^beta g(t)dt$ - $g(t)$ integrabile in $(alpha, beta)$ con $alpha, beta in RR cup \{+oo, -oo}$ - basta studiare i limiti agli estremi dell'integranda, sapendo che:

$lim_(t->pm oo) g(t) = { ( 0 {(text(ord) > 1 text( converge)),(text(ord)le 1 text( diverge)):} ),( text(altrimenti diverge) ):}$

$lim_(t->h) g(t) = { ( oo {(text(ord) < 1 text( converge)),(text(ord)ge 1 text( diverge)):} ),( text(altrimenti converge) ):}$

Perdona l'ignoranza, per $h$ si intende l'estremo di integrazione? e per "ord"?[/quote]
$h$ è un punto in cui l'integranda è discontinua - che può comunque essere un estremo di integrazione.
"ord" è l'ordine - di infinito o infinitesimo.

[Chiara914]

Ok,ultima domanda:c'è un modo per stabilire "ad occhio" l'ordine di infinito o infinitesimo o si deve procedere sempre "per tentativi"?