Esercizio integrale doppio con valore assoluto
Ciao a tutti,vorrei proporvi questo esercizio su un integrale doppio su cui ho dei grossi problemi:
$ int int_(D)^( )y/(sqrt|x|(x^2+y^2)) dx dy $ con $ D=[(x,y):1<= x^2+y^2<= ,x<= y<= 0] $
Per disegnare il grafico del dominio tengo presente che $ 1<= x^2+y^2<= 4 $ rappresenta la regione di piano delimitata da due circonferenze,una di raggio=1 ed un'altra di raggio=2 e compresa tra le rette di equazione y=x e y=0;siamo quindi nel terzo quadrante.
Parametrizzo il dominio D attraverso la trasformazione $ phi ={ ( x=rcos(t) ),( y=rsin(t) ):} $ ottenendo:
$ 1<= r^2cos^2(t)+r^2sin^2(t)<= 4 rArr 1<= r^2<= 4rArr 1<= r<= 2 $ con $ tin [Pi ,5/4Pi ] $
Il nuovo dominio dato dalla trasformazione sarà quindi :
$ D_1=[(r,t):1<= r<= 2,Pi <= t<= 5/4Pi ] $ e $ detJ_phi =r $
si ha quindi :
$ int int_(D)^( )y/(sqrt|x|(x^2+y^2)) dx dy $ $ =int int_(D_1)^( )((rsin(t))/(sqrt(|rcos(t)|)(r^2cos^2(t)+r^2sin^2(t))) detJ_phi dr dt $
da cui
$ int_(1)^(2) dr int_(Pi )^(5/4Pi ) (rsin(t))/(sqrt(|rcos(t)|)r^2)r dt $
Per risolvere calcolo prima l'integrale in dt:
$ int_(Pi )^(5/4Pi ) (rsin(t))/(sqrt(|rcos(t))r^2) rdt= int_(Pi )^(5/4Pi ) (sin(t))/(sqrtr sqrt(|cos(t)|))dt=1/sqrtrint_(Pi )^(5/4Pi ) sin(t)/sqrt(|cos(t)|) dt $
Ammettendo che quanto fatto finora sia corretto,da qui in poi non riesco ad andare avanti perchè
ho difficoltà nel calcolare l'ultimo integrale
,qualcuno mi può aiutare?
$ int int_(D)^( )y/(sqrt|x|(x^2+y^2)) dx dy $ con $ D=[(x,y):1<= x^2+y^2<= ,x<= y<= 0] $
Per disegnare il grafico del dominio tengo presente che $ 1<= x^2+y^2<= 4 $ rappresenta la regione di piano delimitata da due circonferenze,una di raggio=1 ed un'altra di raggio=2 e compresa tra le rette di equazione y=x e y=0;siamo quindi nel terzo quadrante.
Parametrizzo il dominio D attraverso la trasformazione $ phi ={ ( x=rcos(t) ),( y=rsin(t) ):} $ ottenendo:
$ 1<= r^2cos^2(t)+r^2sin^2(t)<= 4 rArr 1<= r^2<= 4rArr 1<= r<= 2 $ con $ tin [Pi ,5/4Pi ] $
Il nuovo dominio dato dalla trasformazione sarà quindi :
$ D_1=[(r,t):1<= r<= 2,Pi <= t<= 5/4Pi ] $ e $ detJ_phi =r $
si ha quindi :
$ int int_(D)^( )y/(sqrt|x|(x^2+y^2)) dx dy $ $ =int int_(D_1)^( )((rsin(t))/(sqrt(|rcos(t)|)(r^2cos^2(t)+r^2sin^2(t))) detJ_phi dr dt $
da cui
$ int_(1)^(2) dr int_(Pi )^(5/4Pi ) (rsin(t))/(sqrt(|rcos(t)|)r^2)r dt $
Per risolvere calcolo prima l'integrale in dt:
$ int_(Pi )^(5/4Pi ) (rsin(t))/(sqrt(|rcos(t))r^2) rdt= int_(Pi )^(5/4Pi ) (sin(t))/(sqrtr sqrt(|cos(t)|))dt=1/sqrtrint_(Pi )^(5/4Pi ) sin(t)/sqrt(|cos(t)|) dt $
Ammettendo che quanto fatto finora sia corretto,da qui in poi non riesco ad andare avanti perchè
ho difficoltà nel calcolare l'ultimo integrale
,qualcuno mi può aiutare?
Risposte
per quei valori di $t$ il coseno è negativo quindi per definizione di modulo puoi scrivere $-cost$
ora devi integrare $int_(pi)^(5/4pi)sint/sqrt(-cost)dt$
e puoi farlo con la sostituzione $p := -cos t$
ora devi integrare $int_(pi)^(5/4pi)sint/sqrt(-cost)dt$
e puoi farlo con la sostituzione $p := -cos t$
Grazie mille 
Ciao frev,
Sì, od anche osservando che l'integrale finale è del tipo seguente:
$int [f(t)]^{\alpha} f '(t) dt = (f^(\alpha + 1) (t))/(\alpha + 1) + c $
Quindi, essendo nel tuo caso $f(t) = - cos t $ e $\alpha = - 1/2 $, si ha semplicemente
$ int sin t/sqrt(-cost) dt = 2 sqrt{- cos t} + c $
"cooper":
e puoi farlo con la sostituzione $p:=−cost $
Sì, od anche osservando che l'integrale finale è del tipo seguente:
$int [f(t)]^{\alpha} f '(t) dt = (f^(\alpha + 1) (t))/(\alpha + 1) + c $
Quindi, essendo nel tuo caso $f(t) = - cos t $ e $\alpha = - 1/2 $, si ha semplicemente
$ int sin t/sqrt(-cost) dt = 2 sqrt{- cos t} + c $
Completo l'esercizio:
$ 1/sqrtr int_(Pi )^(5/4Pi ) sin(t)/sqrt(-cos(t)) dt $ effettuo la sostituzione $ { ( -cos(t)=u ),( sin(t)dt=du ):} $
quindi si ha $ 1/sqrtrint_(Pi )^(5/4Pi ) 1/sqrtu du=1/sqrtr(2sqrt(sqrt2/2)-2)=2/sqrtr(2^(1/4)/sqrt2-1) $
poi $ int_(1)^(2) 2/sqrtr((root(4)(2) )/sqrt2-1) dr=2((root(4)(2)) /sqrt2-1)int_(1)^(2) 1/sqrtr dr=4root(4)(2)-(4root(4)(2)/sqrt2)-4sqrt2+4 $
$ 1/sqrtr int_(Pi )^(5/4Pi ) sin(t)/sqrt(-cos(t)) dt $ effettuo la sostituzione $ { ( -cos(t)=u ),( sin(t)dt=du ):} $
quindi si ha $ 1/sqrtrint_(Pi )^(5/4Pi ) 1/sqrtu du=1/sqrtr(2sqrt(sqrt2/2)-2)=2/sqrtr(2^(1/4)/sqrt2-1) $
poi $ int_(1)^(2) 2/sqrtr((root(4)(2) )/sqrt2-1) dr=2((root(4)(2)) /sqrt2-1)int_(1)^(2) 1/sqrtr dr=4root(4)(2)-(4root(4)(2)/sqrt2)-4sqrt2+4 $
si mi sembra corretto, però puoi semplificare un po' il risultato..
$4sqrt(sqrt2 /2)=2root(4)2$
dunque l'integrale risulta $2root(4)2 -4sqrt(2)+4$
$4sqrt(sqrt2 /2)=2root(4)2$
dunque l'integrale risulta $2root(4)2 -4sqrt(2)+4$
Grazie:)
"cooper":
$ 4sqrt(sqrt2 /2)=2root(4)2 $
A me risulta
$4sqrt(sqrt2 /2) = 2root(4)8$ oppure $= 2sqrt(2)root(4)2$
eh certo che ti esce così e non come me. se a casa mia $16 : 2 = 4$ la vedo un po' dura... 
ovviamente ha ragione Ziben, ho sbagliato a semplificare.
ovviamente ha ragione Ziben, ho sbagliato a semplificare.
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