Esercizio Integrale Doppio
A una settimana dall'esame di Analisi II mi stavo esercitando su vecchi compiti e mi è capitato fra le mani un integrale che non riesco proprio a risolvere:
$\int int x/(y^2+2) dxdy$
dove il dominio è $D={(x,y) in RR^2 :y<=2-x^2,y>=x,y>=0}$
Ho provato a cercare un dominio normale,ma non sono riuscito a trovarlo per nessuno dei due assi,ho provato a dividere l'integrale in due facendo l'integrale completo anche della parte al di sotto dell'asse delle x e sottraendo quella stessa parte di integrale sotto l'asse delle x(che è un dominio normale) ma gli integrali che ne escono credo siano troppo complicati.
Ho provato la trasformazione in coordinate polari ma risulta troppo complesso l'estremo di integrazione di $\rho$ e non sono riuscito a trovare delle coordinate polari generalizzate che mi semplificassero il calcolo,qualcuno ha qualche altra idea?
$\int int x/(y^2+2) dxdy$
dove il dominio è $D={(x,y) in RR^2 :y<=2-x^2,y>=x,y>=0}$
Ho provato a cercare un dominio normale,ma non sono riuscito a trovarlo per nessuno dei due assi,ho provato a dividere l'integrale in due facendo l'integrale completo anche della parte al di sotto dell'asse delle x e sottraendo quella stessa parte di integrale sotto l'asse delle x(che è un dominio normale) ma gli integrali che ne escono credo siano troppo complicati.
Ho provato la trasformazione in coordinate polari ma risulta troppo complesso l'estremo di integrazione di $\rho$ e non sono riuscito a trovare delle coordinate polari generalizzate che mi semplificassero il calcolo,qualcuno ha qualche altra idea?
Risposte
Ciao, premetto che ci ho pensato un pò, io sono all'inizio dello studio degli integrali.
Trasformare in cordinate polari la vedo difficile perchè supposto che sia:
$x = \rho cos \theta$
$y = \rho sin \theta$
per trovare $\rho$ io farei cosi:
$\rho sin \theta = 2 - ( \rho cos \theta)^2$ e non è proprio simpatico trovare $\rho$
quindi vedendo il grafico che ottengo, e ragionando un pò sulle disequazioni, credo che sia plausibile:
$-3/2 <=x<=0$
e
$x <= y <= 2 - x^2$
quindi verrebbe:
$\int dx \int x/(y^2 +2) dy$
che ne pensate?
Trasformare in cordinate polari la vedo difficile perchè supposto che sia:
$x = \rho cos \theta$
$y = \rho sin \theta$
per trovare $\rho$ io farei cosi:
$\rho sin \theta = 2 - ( \rho cos \theta)^2$ e non è proprio simpatico trovare $\rho$
quindi vedendo il grafico che ottengo, e ragionando un pò sulle disequazioni, credo che sia plausibile:
$-3/2 <=x<=0$
e
$x <= y <= 2 - x^2$
quindi verrebbe:
$\int dx \int x/(y^2 +2) dy$
che ne pensate?
Vabbè,alla fine ho risolto...si doveva dividere il dominio in due parti:la parte al di sopra della retta y=1 e quella al di sotto,così i calcoli erano notevolmente più semplificati!
potresti scrivermi il dominio? potrebbe risultare utile a qualcuno 
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