Esercizio integrale doppio
Ciao a tutti,
ho questo esercizio da risolvere:
Sia B la circonferenza di centro l'origine e raggio 1. Verificare che risulta:
$ int int_(B) x^2e^(-(x^2+y^2)) dx dy =(pi(e-1))/(4e) $
Io ho provato a risolvere questo integrale effettuando un cambiamento di variabili da cartesiane a polari. Ho quindi che:
$ int int_(B) rho^2cos^2(theta)e^(-(rho^2cos^2(theta)+rho^2sin^2(theta))) d(rho) d(theta) = int int_(B) rho^2cos^2(theta)e^(-rho^2) d(rho) d(theta) = $
E' possibile esprimere B nel seguente modo:
$ B={(rho,theta)inR^2 : rho=1, 0<=theta<2pi} $
Ma ora come procedo per ridurre l'integrale in due integrali di una variabile? Essendo $ rho $ costante, ho pensato di sostituirlo direttamente, ma non riesco a trovarmi con il risultato.
Dove sto sbagliando?
Grazie in anticipo
ho questo esercizio da risolvere:
Sia B la circonferenza di centro l'origine e raggio 1. Verificare che risulta:
$ int int_(B) x^2e^(-(x^2+y^2)) dx dy =(pi(e-1))/(4e) $
Io ho provato a risolvere questo integrale effettuando un cambiamento di variabili da cartesiane a polari. Ho quindi che:
$ int int_(B) rho^2cos^2(theta)e^(-(rho^2cos^2(theta)+rho^2sin^2(theta))) d(rho) d(theta) = int int_(B) rho^2cos^2(theta)e^(-rho^2) d(rho) d(theta) = $
E' possibile esprimere B nel seguente modo:
$ B={(rho,theta)inR^2 : rho=1, 0<=theta<2pi} $
Ma ora come procedo per ridurre l'integrale in due integrali di una variabile? Essendo $ rho $ costante, ho pensato di sostituirlo direttamente, ma non riesco a trovarmi con il risultato.
Dove sto sbagliando?
Grazie in anticipo
Risposte
l'integrale è:
$int_(0)^(1)int_(0)^(2pi)rho^3cos^2thetae^(-rho^2)drhod theta$
lo puoi vedere così:
$int_(0)^(2pi)cos^2theta{int_(0)^(1)rho^3e^(-rho^2)drho}d theta$
prima svolgi l'integrale interno alla graffa in $drho$ e poi quello esterno in $d theta$
è più chiaro ora?
ti ho aggiungo un $rho$ che ti eri perso....è quello derivante dal determinate jacobiano
Ps: ovviamente dò per scontato che il dominio di integrazione sia il cerchio all'interno della circonferenza...perché dal testo non è chiaro
$int_(0)^(1)int_(0)^(2pi)rho^3cos^2thetae^(-rho^2)drhod theta$
lo puoi vedere così:
$int_(0)^(2pi)cos^2theta{int_(0)^(1)rho^3e^(-rho^2)drho}d theta$
prima svolgi l'integrale interno alla graffa in $drho$ e poi quello esterno in $d theta$
è più chiaro ora?
ti ho aggiungo un $rho$ che ti eri perso....è quello derivante dal determinate jacobiano
Ps: ovviamente dò per scontato che il dominio di integrazione sia il cerchio all'interno della circonferenza...perché dal testo non è chiaro
Non viene $\pi\frac{e-1}{4e}$
"tommik":
ti ho aggiungo un $ rho $ che ti eri perso....è quello derivante dal determinate jacobiano
Si grazie, me l'ero proprio dimenticato in questo esercizio.
"tommik":
Ps: ovviamente dò per scontato che il dominio di integrazione sia il cerchio all'interno della circonferenza...perché dal testo non è chiaro
Il problema è proprio questo (ho riportato fedelmente la traccia), il testo è poco chiaro. Io avevo considerato $ rho=1 $ costante proprio in virtù del fatto che B è definito come circonferenza (ad esempio, in altri esercizi, l'insieme B è definito come una corona circolare, oppure un settore del cerchio, ecc., quindi $rho$ è variabile).
Ad ogni modo ho svolto l'integrale doppio scritto da te, e, a meno di altri errori miei
, non riesco ancora ad arrivare al risultato riportato. Ecco come l'ho svolto:l'integrale tra le graffe equivale a
$ int_(0)^(1)rho^3e^(-rho^2)drho = |-1/2e^(-rho^2)(rho^2+1)|_0^1 = 1/2-1/e $
Quindi, essendo questa quantità costante, la porto fuori dall'integrale rimasto e lo integro a sua volta
$ int_(0)^(2pi)cos^2thetad theta = | 1/2(theta + sinthetacostheta)|_0^(2pi) = pi $
Il risultato è: $ (pi(e-2))/(2e) $
Ho sbagliato qualcosa io oppure potrebbe essere un errore di cattiva interpretazione della traccia?
"pitagora11":
Ma ora come procedo per ridurre l'integrale in due integrali di una variabile? Essendo $ rho $ costante, ho pensato di sostituirlo direttamente, ma non riesco a trovarmi con il risultato.
Dove sto sbagliando?
"dan95":
Non viene $\pi\frac{e-1}{4e}$
sì anche a me non viene il risultato che hai postato...però ritengo ti sia utile comunque svolgerlo in maniera corretta...
"pitagora11":
Il risultato è: $ (pi(e-2))/(2e) $
Ho sbagliato qualcosa io oppure potrebbe essere un errore di cattiva interpretazione della traccia?
viene così anche a me...ovviamente rimane il dubbio sull'interpretazione della traccia per quanto concerne il dominio...direi che puoi passare oltre...
Ok, allora la mia interpretazione con $rho=1$ non è comunque applicabile, giusto?
Ad ogni modo, grazie dell'aiuto
Ad ogni modo, grazie dell'aiuto
"pitagora11":
Ok, allora la mia interpretazione con $rho=1$ non è comunque applicabile, giusto?
Ad ogni modo, grazie dell'aiuto
non ho capito....$rho=1$ ma l'altro estremo?
No, stavo pensando che tutti i punti della circonferenza unitaria sono $ (rho,theta) : rho=1, 0<=theta<2pi $ (praticamente $rho$ è costante.
Quindi, l'insieme di questi punti sarebbe proprio B ($ B= {(rho,theta) : rho=1, 0<=theta<2pi} $).
Ho detto un'eresia?
Quindi, l'insieme di questi punti sarebbe proprio B ($ B= {(rho,theta) : rho=1, 0<=theta<2pi} $).
Ho detto un'eresia?
"pitagora11":
No, stavo pensando che tutti i punti della circonferenza unitaria sono $ (rho,theta) : rho=1, 0<=theta<2pi $ (praticamente $rho$ è costante.
Quindi, l'insieme di questi punti sarebbe proprio B ($ B= {(rho,theta) : rho=1, 0<=theta<2pi} $).
Ho detto un'eresia?
no. hai detto che vuoi calcolare il seguente integrale doppio: $int_(rho)^(rho)int_(0)^(2pi)f(rho, theta)drho d theta=0$
E' vero, verrebbe nullo! Che dimenticanza 
Grazie
Grazie
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