Esercizio Integrale Doppio
Ragazzi potete darmi una mano con questo esercizio io ho provato a svolgerlo ma non mi trovo.
Ho fatto io il disegno del Domineo penso sia giusto,adesso mi chiedevo visto la simmetria posso studiare solo a destra la funzione?Se si quali estremi di integrazione usare?
Io avevo pensato di studiare la funzione a destra e poi moltiplicare il risultato per due.
Ho fatto io il disegno del Domineo penso sia giusto,adesso mi chiedevo visto la simmetria posso studiare solo a destra la funzione?Se si quali estremi di integrazione usare?
Io avevo pensato di studiare la funzione a destra e poi moltiplicare il risultato per due.
Risposte
Se chiami \(D^+\) e \(D^-\) i pezzi di \(D\) nel primo e nel secondo quadrante, e se chiami \(f(x,y)\) e \(g(x,y)\) i due addendi di cui è composto l'integrando, per ragioni di simmetria hai:
\[
\begin{split}
\int_{D^-} f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y &= \int_{D^+} f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y\\
\int_{D^-} g(x,y)\ \text{d} x\text{d} y &= - \int_{D^+} g(x,y)\ \text{d} x\text{d} y
\end{split}
\]
sicché la proprietà additiva dell'integrale importa che l'integrale da calcolare è uguale a \(2\ \int_{D^+} f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y\), il quale si calcola facile.
\[
\begin{split}
\int_{D^-} f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y &= \int_{D^+} f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y\\
\int_{D^-} g(x,y)\ \text{d} x\text{d} y &= - \int_{D^+} g(x,y)\ \text{d} x\text{d} y
\end{split}
\]
sicché la proprietà additiva dell'integrale importa che l'integrale da calcolare è uguale a \(2\ \int_{D^+} f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y\), il quale si calcola facile.
Grazie della risposta così celere . Però continuo ad avere dubbi,secondo la mia logica che è abbastanza aleatoria,dovrebbe essere così:
\[ \begin{split} \int_{D^-} f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y &= \int_{D^+} f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y\\ -\int_{D^-} g(x,y)\ \text{d} x\text{d} y &= \int_{D^+} g(x,y)\ \text{d} x\text{d} y \end{split} \]
Come si spiega quel segno meno?
\[ \begin{split} \int_{D^-} f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y &= \int_{D^+} f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y\\ -\int_{D^-} g(x,y)\ \text{d} x\text{d} y &= \int_{D^+} g(x,y)\ \text{d} x\text{d} y \end{split} \]
Come si spiega quel segno meno?
Che simmetrie ha la funzione \(g(x,y):=2xe^y\)?
E' dispari!
E il fatto che sia dispari comporta che la somma delle due aree sia 0 ?(essendo simmetrica sia la funzione che il dominio di integrazione e che quindi le due aree siano uguali ed opposte ?
E il fatto che sia dispari comporta che la somma delle due aree sia 0 ?(essendo simmetrica sia la funzione che il dominio di integrazione e che quindi le due aree siano uguali ed opposte ?
Yes. 
Occhio a non parlare a sproposito di aree o volumi: così come l'integrale non è sempre la misura di un'area, l'integrale doppio non è sempre la misura di un volume.
Occhio a non parlare a sproposito di aree o volumi: così come l'integrale non è sempre la misura di un'area, l'integrale doppio non è sempre la misura di un volume.
Ha perfettamente ragione! Grazie ancora per i chiarimenti!
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