Esercizio Integrale curvilineo forma differenziale
devo fare l'integrale curvilineo di \(\displaystyle w=y^2dx-x^2dy \) lungo l'arco di circonferenza \(\displaystyle y^2+x^2=1\) contenuto nel primo quadrante di primo estremo \(\displaystyle (0,1) \) e di secondo estremo \(\displaystyle (1,0) \).
Io ho pensato di considerare lìeq parametrica della circonferenza e fare \(\displaystyle x=cost \) e \(\displaystyle y=sent \) con t appartente a \(\displaystyle [0,Pigreco/2] \) ma lintegrale mi esco 0 invce di -4/3 pigreco perchè ragazzi?
Io ho pensato di considerare lìeq parametrica della circonferenza e fare \(\displaystyle x=cost \) e \(\displaystyle y=sent \) con t appartente a \(\displaystyle [0,Pigreco/2] \) ma lintegrale mi esco 0 invce di -4/3 pigreco perchè ragazzi?
Risposte
Prima di aiutarti ti chiederei di postare i conti che hai fatto.
\( \int_{0}^{pi/2}\ -sen^3t-cos^3t dt =\ (-sen^4t/4)-(cos^4t/4)|_{0}^{pi/2} \) =\(\displaystyle -1/4+1/4=0 \)
Ti sei sprecato!
Quella lì è una $1$-forma differenziale in $RR^2$. Il campo vettoriale associato a $w$ è $( y^2 , - x^2)$.
La curva è $\sigma(t) = (cos(t) , sin(t))$ e $\sigma'(t) = (- sin(t) , cos(t))$. Per definizione:
\[\displaystyle \int_{\text{quarto di crf}} w = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 ( \sin^2(t) , - \cos^2(t)) \cdot (- \sin(t) , \cos(t) ) dt \]
\[\displaystyle = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 - \sin^3(t) + \cos^3(t) dt \]
Quella lì è una $1$-forma differenziale in $RR^2$. Il campo vettoriale associato a $w$ è $( y^2 , - x^2)$.
La curva è $\sigma(t) = (cos(t) , sin(t))$ e $\sigma'(t) = (- sin(t) , cos(t))$. Per definizione:
\[\displaystyle \int_{\text{quarto di crf}} w = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 ( \sin^2(t) , - \cos^2(t)) \cdot (- \sin(t) , \cos(t) ) dt \]
\[\displaystyle = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 - \sin^3(t) + \cos^3(t) dt \]
... Però ottengo comunque zero come risultato.
[Raptorista si erge in tutta la sua ingegneria ed esclama] «Mi è semblato di vedere Seneca che sbaglia un segno in un prodotto scalare!» (cit.)
P.s. anche modificato, comunque, il risultato viene \(\frac 4 3\)..
P.p.s. è un caso che vi venga lo stesso risultato, visto che le primitive calcolate da Xtony sono malamente sbagliate
P.p.p.s Seneca, lo sai che scherzo
P.s. anche modificato, comunque, il risultato viene \(\frac 4 3\)..
P.p.s. è un caso che vi venga lo stesso risultato, visto che le primitive calcolate da Xtony sono malamente sbagliate
P.p.p.s Seneca, lo sai che scherzo
Capita... 
Rifacendo i conti ottengo $4/3$, come Raptorista.
Rifacendo i conti ottengo $4/3$, come Raptorista.
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