Esercizio integrale #2
Ciao ragazzi 
sto cercando di risolvere questo integrale improprio:
$ int_(1)^(2) 1/(sqrt(x-1)(2-x)^alpha) dx $ devo dire per quali $ alpha $ converge e calcolarlo per $ alpha=1/2 $ .
Se non sbaglio abbiamo un problema in entrambi gli estremi di integrazione; però la funzione integranda è ben definita in $ (1,c] $ con $ c<2 $ e in $ [c,2) $ con $ c>1 $ . Quindi possiamo scrivere che l'integrale di partenza è uguale a:
$ int_(1)^(c) 1/(sqrt(x-1)(2-x)^alpha) dx+ int_(c)^(2) 1/(sqrt(x-1)(2-x)^alpha) dx $
A questo punto ho considerato il secondo integrale improprio e ho supposto che per x che tende a 2 si ha $ 1/(2-x)^alpha $ e quindi è convergente per $ alpha<1 $ .
Per il primo integrale però non mi viene in mente un metodo con cui procedere. Qualcuno può darmi una mano?
sto cercando di risolvere questo integrale improprio:$ int_(1)^(2) 1/(sqrt(x-1)(2-x)^alpha) dx $ devo dire per quali $ alpha $ converge e calcolarlo per $ alpha=1/2 $ .
Se non sbaglio abbiamo un problema in entrambi gli estremi di integrazione; però la funzione integranda è ben definita in $ (1,c] $ con $ c<2 $ e in $ [c,2) $ con $ c>1 $ . Quindi possiamo scrivere che l'integrale di partenza è uguale a:
$ int_(1)^(c) 1/(sqrt(x-1)(2-x)^alpha) dx+ int_(c)^(2) 1/(sqrt(x-1)(2-x)^alpha) dx $
A questo punto ho considerato il secondo integrale improprio e ho supposto che per x che tende a 2 si ha $ 1/(2-x)^alpha $ e quindi è convergente per $ alpha<1 $ .
Per il primo integrale però non mi viene in mente un metodo con cui procedere. Qualcuno può darmi una mano?
Risposte
Ciao FinixFighter,
Comincerei con l'osservare che l'integrale proposto certamente converge per $\alpha \le 0 $ e, dato che ti si chiede di calcolarlo in tale caso, convergerà anche per $ \alpha = 1/2 $ (ogni tanto bisogna anche farsi furbi...
).
Per quanto concerne il primo integrale, per $x \to 1 $ si ha:
$\int_(1)^(c) 1/(sqrt(x-1)(2-x)^alpha) dx $[tex]\sim[/tex] $ \int_(1)^(c) 1/(sqrt(x-1)) dx $
e l'ultimo integrale scritto converge dato che è del tipo $ \int_(a)^(c) 1/((x-a)^p) dx $ con $a = 1 $ e $p = 1/2 < 1 $
Dunque il risultato che hai ottenuto, cioè $\alpha < 1 $, è anche quello finale per il quale converge l'integrale proposto.
Lascio a te il calcolo dell'integrale per $ \alpha = 1/2 $, poi se hai difficoltà siamo qua...
Anzi no, ti propongo la mia soluzione, che però non è proprio da Analisi I, quindi comunque il calcolo lo dovrai fare da solo, ma almeno saprai il risultato...
Per $\alpha < 1 $ posto $ t := x - 1 \implies dt = dx $ si ha:
$ \int_(1)^(2) 1/(sqrt(x-1)(2-x)^alpha) dx = \int_(0)^(1) t^{-1/2}(1 - t)^{- alpha} dt = \int_(0)^(1) t^{1/2 - 1}(1 - t)^{1 - alpha - 1 } dt = $
$ = B(1/2, 1 - \alpha) = \frac{\Gamma(1/2)\Gamma(1 - \alpha)}{\Gamma(1/2 + 1 - \alpha)} = \frac{\Gamma(1/2)\Gamma(1 - \alpha)}{\Gamma(3/2 - \alpha)} $
Nel caso particolare $\alpha = 1/2 $ si ha:
$ \int_(1)^(2) 1/(sqrt(x-1)(2-x)^{1/2}) dx = \frac{\Gamma(1/2)\Gamma(1 - 1/2)}{\Gamma(3/2 - 1/2)} = \frac{\Gamma(1/2)\Gamma(1/2)}{\Gamma(1)} = \frac{[\Gamma(1/2)]^2}{\Gamma(1)} = \frac{[\sqrt{\pi}]^2}{1} = \pi $
Comincerei con l'osservare che l'integrale proposto certamente converge per $\alpha \le 0 $ e, dato che ti si chiede di calcolarlo in tale caso, convergerà anche per $ \alpha = 1/2 $ (ogni tanto bisogna anche farsi furbi...
).Per quanto concerne il primo integrale, per $x \to 1 $ si ha:
$\int_(1)^(c) 1/(sqrt(x-1)(2-x)^alpha) dx $[tex]\sim[/tex] $ \int_(1)^(c) 1/(sqrt(x-1)) dx $
e l'ultimo integrale scritto converge dato che è del tipo $ \int_(a)^(c) 1/((x-a)^p) dx $ con $a = 1 $ e $p = 1/2 < 1 $
Dunque il risultato che hai ottenuto, cioè $\alpha < 1 $, è anche quello finale per il quale converge l'integrale proposto.
Lascio a te il calcolo dell'integrale per $ \alpha = 1/2 $, poi se hai difficoltà siamo qua...
Anzi no, ti propongo la mia soluzione, che però non è proprio da Analisi I, quindi comunque il calcolo lo dovrai fare da solo, ma almeno saprai il risultato...
Per $\alpha < 1 $ posto $ t := x - 1 \implies dt = dx $ si ha:
$ \int_(1)^(2) 1/(sqrt(x-1)(2-x)^alpha) dx = \int_(0)^(1) t^{-1/2}(1 - t)^{- alpha} dt = \int_(0)^(1) t^{1/2 - 1}(1 - t)^{1 - alpha - 1 } dt = $
$ = B(1/2, 1 - \alpha) = \frac{\Gamma(1/2)\Gamma(1 - \alpha)}{\Gamma(1/2 + 1 - \alpha)} = \frac{\Gamma(1/2)\Gamma(1 - \alpha)}{\Gamma(3/2 - \alpha)} $
Nel caso particolare $\alpha = 1/2 $ si ha:
$ \int_(1)^(2) 1/(sqrt(x-1)(2-x)^{1/2}) dx = \frac{\Gamma(1/2)\Gamma(1 - 1/2)}{\Gamma(3/2 - 1/2)} = \frac{\Gamma(1/2)\Gamma(1/2)}{\Gamma(1)} = \frac{[\Gamma(1/2)]^2}{\Gamma(1)} = \frac{[\sqrt{\pi}]^2}{1} = \pi $
Grazie pilloeffe. Ho provato a risolvere l'integrale per $ alpha=1/2 $ . Per quanto riguarda il primo integrale ho ottenuto:
$ lim_(c -> 2)int_(1)^(c) 1/(2-x)^(1/2) dx =2 $ mentre il secondo:
$ lim_(c -> 1)int_(c)^(2) 1/sqrt(x-1) dx =2 $ .
Essendo l'integrale improprio di partenza uguale alla somma di questi due, posso concludere che il risultato è 4?
$ lim_(c -> 2)int_(1)^(c) 1/(2-x)^(1/2) dx =2 $ mentre il secondo:
$ lim_(c -> 1)int_(c)^(2) 1/sqrt(x-1) dx =2 $ .
Essendo l'integrale improprio di partenza uguale alla somma di questi due, posso concludere che il risultato è 4?
Ma non è vero che l’integrale di partenza è la somma di quelle due robe lì...
Per integrare nel caso $ alpha = 1/2$, io proporrei di scrivere:
\[
\int_1^2 \frac{1}{\sqrt{x - 1}\ \sqrt{2 - x}}\ \text{d} x = \int_1^2 \frac{1}{x - 1}\ \sqrt{\frac{x - 1}{2 - x}}\ \text{d} x
\]
ed integrare con la sostituzione standard $t = sqrt((x-1)/(2 - x))$.
Vedi un po’ se funziona!
Per integrare nel caso $ alpha = 1/2$, io proporrei di scrivere:
\[
\int_1^2 \frac{1}{\sqrt{x - 1}\ \sqrt{2 - x}}\ \text{d} x = \int_1^2 \frac{1}{x - 1}\ \sqrt{\frac{x - 1}{2 - x}}\ \text{d} x
\]
ed integrare con la sostituzione standard $t = sqrt((x-1)/(2 - x))$.
Vedi un po’ se funziona!
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