Esercizio integrale
$ g'(x)=3cosh x+2x sinh x $Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio: data $ f(x)=x+int_0^x\frac{e^{-t^2}}{cosh t} dt $, determinare gli asintoti obliqui, calcolare $f'$, $f''$, riconoscere che $x=0$ è un punto di flesso e disegnare un grafico qualitativo di $f$.
Mi manca determinare gli asintoti obliqui (e di conseguenza anche tracciare il grafico), non so da che parte farmi...
Vi scrivo anche come ho fatto gli altri punti così magari mi dite se ho sbagliato qualcosa.
$f'(x)=1+\frac{e^{-x^2}}{cosh x}$ che è sempre positiva, quindi $f$ è strettamente crescente.
$f''(x)=\frac{-2xe^{-x^2} cosh x - e^{-x^2} sinh x}{cosh^2 x} = -\frac{e^{-x^2}}{cosh^2 x}(2x cosh x + sinh x)$
il segno di $f''$ dipende solo da $g(x) = 2x cosh x + sinh x$ in quanto $-\frac{e^{-x^2}}{cosh^2 x} < 0\ \forall x$
$g'(x)=3cosh x+2x sinh x$ con $3 cosh x > 0\ \forall x$ e $sinh x ge 0 \ \forall x ge 0$ da cui $2x sinh x ge 0 \ \forall x$, quindi $g'(x)>0 \ \forall x$ essendo somma di una funziona non negativa e una positiva. $g'>0$ implica che $g$ è strettamente crescente e da $g(0)=0$ si trova che $g(x)>0\ \forall x>0$ e $g(x)<0\ \forall x<0$ da cui $f''(x)=-\frac{e^{-x^2}}{cosh^2 x}g(x)<0\ \forall x>0$ e $f''(x)>0\ \forall x<0$ quindi $x=0$ è un punto di flesso obliquo di $f$ (infatti $f'(0)=2$)
Ho fatto bene? Sapreste darmi qualche dritta per trovare gli asintoti obliqui? Grazie
Mi manca determinare gli asintoti obliqui (e di conseguenza anche tracciare il grafico), non so da che parte farmi...
Vi scrivo anche come ho fatto gli altri punti così magari mi dite se ho sbagliato qualcosa.
$f'(x)=1+\frac{e^{-x^2}}{cosh x}$ che è sempre positiva, quindi $f$ è strettamente crescente.
$f''(x)=\frac{-2xe^{-x^2} cosh x - e^{-x^2} sinh x}{cosh^2 x} = -\frac{e^{-x^2}}{cosh^2 x}(2x cosh x + sinh x)$
il segno di $f''$ dipende solo da $g(x) = 2x cosh x + sinh x$ in quanto $-\frac{e^{-x^2}}{cosh^2 x} < 0\ \forall x$
$g'(x)=3cosh x+2x sinh x$ con $3 cosh x > 0\ \forall x$ e $sinh x ge 0 \ \forall x ge 0$ da cui $2x sinh x ge 0 \ \forall x$, quindi $g'(x)>0 \ \forall x$ essendo somma di una funziona non negativa e una positiva. $g'>0$ implica che $g$ è strettamente crescente e da $g(0)=0$ si trova che $g(x)>0\ \forall x>0$ e $g(x)<0\ \forall x<0$ da cui $f''(x)=-\frac{e^{-x^2}}{cosh^2 x}g(x)<0\ \forall x>0$ e $f''(x)>0\ \forall x<0$ quindi $x=0$ è un punto di flesso obliquo di $f$ (infatti $f'(0)=2$)
Ho fatto bene? Sapreste darmi qualche dritta per trovare gli asintoti obliqui? Grazie
Risposte
Scusa una cosa: per determinare il punto di flesso non basta vedere quando la derivata seconda si annulla? Perché francamente non mi è chiaro perché calcoli nuovamente una derivata (la tua $g'(x)$) per determinare il segno di questa...
Sì ma se noti la f'' è mista e algebricamente non credo sia risolubile. Il metodo che ho usato io è questo: ho separato il fattore di segno costante $-\frac{e^{-x^2}}{cosh^2 x}$ da quello di segno variabile $2x cosh x + sinh x$ che ho chiamato g(x) per comodità. Studiando il segno di g'(x) ho trovato che g è strettamente crescente e sapendo che g(0)=0 ho ottenuto che a destra di 0 g>0 e a sinistra di 0 g<0 in virtù della stretta monotonia. Dato che f'' è dato da un fattore sempre negativo moltiplicato per g ottengo che f''<0 per x>0 e f''>0 per x<0 quindi in 0 abbiamo un punto di flesso per f perché a destra di 0 in f'' abbiamo valori negativi e a sinistra valori positivi. Se poi c'è un modo più semplice per ottenere il segno di f'' ti prego di scriverlo perché io non l'ho trovato XD. Comunque spero di aver chiarito 
Giustamente hai affermato che il segno di $f''(x)$ dipende solo da $2x\cosh(x) + \sinh(x)$ (il primo termine è sempre negativo, vedi il - davanti, e non si annulla mai). Studiare il segno di $f''(x)$ si riduce pertanto a studiare il segno di $2x\cosh(x) + \sinh(x)$. Ricorda che seno e coseno iperbolico possono essere semplicemente scritti in funzione dell'esponenziale (vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Seno_iperbolico). In questo modo la disequazione che ti ritrovi a risolvere dopo aver fatto alcuni semplici conti è molto facile e ti porta appunto alla conclusione che in $x = 0$ si ha un punto di flesso.
Semmai ci riprovo Qualche idea per risolvere il problema degli asintoti?
Qualche idea per risolvere il problema degli asintoti?
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