Esercizio insiemi
consideriamo la relazione R(gotica) definita da
(m,n) appartiene ad R(gotica) se esiste k appartenente ad N unione {0} tale che n= m+k
Verificare che R(gotica) è una relazione d'ordine detta relazione d'ordine usuale in N
Come posso risolvere??
(m,n) appartiene ad R(gotica) se esiste k appartenente ad N unione {0} tale che n= m+k
Verificare che R(gotica) è una relazione d'ordine detta relazione d'ordine usuale in N
Come posso risolvere??
Risposte
Se interpreto bene:
\[
\mathfrak{R} := \{ (m,n)\in \mathbb{N}^2:\ \exists k\in \mathbb{N}\cup \{0\}:\ n=m+k\}\; .
\]
Beh, prova a verificare che siano soddisfatte le proprietà delle relazioni d'ordine (i.e., verifica che \(\mathfrak{R}\) è riflessiva, antisimmetrica e transitiva).
\[
\mathfrak{R} := \{ (m,n)\in \mathbb{N}^2:\ \exists k\in \mathbb{N}\cup \{0\}:\ n=m+k\}\; .
\]
Beh, prova a verificare che siano soddisfatte le proprietà delle relazioni d'ordine (i.e., verifica che \(\mathfrak{R}\) è riflessiva, antisimmetrica e transitiva).
è giusta è giusta... 
ma il problema è che nn riesco a vedere se queste proprietà sono verificate o meno...mi potresti dare una mano??
ma il problema è che nn riesco a vedere se queste proprietà sono verificate o meno...mi potresti dare una mano??
Comincia dalla riflessività.
Devi mostrare che per ogni \(m\in \mathbb{N}\) hai \(m\mathfrak{R} m\) (cioè che ogni coppia \((m,m)\in \mathfrak{R}\))... Non mi sembra difficile.
Poi ti tocca la antisimmetria, cioè mostrare che se \(m\mathfrak{R}n\) e \(n\mathfrak{R}m\) (i.e., se entrambe le coppie \((m,n)\) ed \((n,m)\) sono in \(\mathfrak{R}\)) allora \(m=n\).
Infine la transitività, cioè che se \(m\mathfrak{R} n\) ed \(n\mathfrak{R} p\) allora \(m\mathfrak{R} p\).
Prova e vediamo dove ti areni; anche se confido che tu riesca abbastanza facilmente.
Devi mostrare che per ogni \(m\in \mathbb{N}\) hai \(m\mathfrak{R} m\) (cioè che ogni coppia \((m,m)\in \mathfrak{R}\))... Non mi sembra difficile.
Poi ti tocca la antisimmetria, cioè mostrare che se \(m\mathfrak{R}n\) e \(n\mathfrak{R}m\) (i.e., se entrambe le coppie \((m,n)\) ed \((n,m)\) sono in \(\mathfrak{R}\)) allora \(m=n\).
Infine la transitività, cioè che se \(m\mathfrak{R} n\) ed \(n\mathfrak{R} p\) allora \(m\mathfrak{R} p\).
Prova e vediamo dove ti areni; anche se confido che tu riesca abbastanza facilmente.
Grazie mille per la tua risposta cmq quello che non riesco a capire e come fare a sapere, per esempio , se la coppia (m,m) appartiene ad R ....dovrei assegnare devi valori a mio arbitrio ad m e ad n o cosa ??? 
Grazie per l'aiuto...
cmq quello che non riesco a capire e come fare a sapere, per esempio , se la coppia (m,m) appartiene ad R ....dovrei assegnare devi valori a mio arbitrio ad m e ad n o cosa ??? Grazie per l'aiuto...
Fissa un numero \(m\in \mathbb{N}\) e chiediti: "Quand'è che una coppia del tipo \((m,m)\) sta in \(\mathfrak{R}\)?"
Beh, la risposta a questa domanda te la dà proprietà che definisce l'insieme \(\mathfrak{R}\): "Una coppia del tipo \((m,m)\) è in \(\mathfrak{R}\) quando esiste un numero \(k\in \mathbb{N}\cup \{0\}\) tale che:
\[
\tag{1}
m=m+k\; .\text{"}
\]
Ora domandati: "Riesco a determinare almeno un numerillo \(k\in \mathbb{N}\cup \{0\}\) tale che valga la (1)?"
La risposta dovrebbe essere immediata...
Beh, la risposta a questa domanda te la dà proprietà che definisce l'insieme \(\mathfrak{R}\): "Una coppia del tipo \((m,m)\) è in \(\mathfrak{R}\) quando esiste un numero \(k\in \mathbb{N}\cup \{0\}\) tale che:
\[
\tag{1}
m=m+k\; .\text{"}
\]
Ora domandati: "Riesco a determinare almeno un numerillo \(k\in \mathbb{N}\cup \{0\}\) tale che valga la (1)?"
La risposta dovrebbe essere immediata...
1+0 giusto??? dato che 1 appartiene ai numeri naturali e 0 è unito....o sbaglio ? ma quello che a me nn hanno spiegato è proprio come ragionare per svolgere l'esercizio perchè le proprietà le ho capite....
"axios":
1+0 giusto??? dato che 1 appartiene ai numeri naturali e 0 è unito....o sbaglio ? ma quello che a me nn hanno spiegato è proprio come ragionare per svolgere l'esercizio perchè le proprietà le ho capite....
Da dove è uscito \(1\)?
Rileggi con attenzione il mio post, please.
Era inutile questo messaggio...
forse ho capito...allora
1) riflessiva se pongo m =5 ci sarà sicuramente che 5=5+0 quindi è riflessiva
2)antissimetria se pongo la coppia (5,7 ) deve esistere 7=5+2 mentre se pongo la coppia (7,5) deve esistere 5=7+qualcosa ma non è possibile dato che posso usare solo i numeri naturali, almeno che non prenda m ed n uguali solo in questo caso vale l'anitissimetria
3)transitività se pongo la coppia (m,n)= (5,6) sappiamo che ci sarà sicuramente 6=5+1 mentre se pongo la coppia (n,p)= (6,7) ci sarà sicuramente 7=6+1 e quindi ci sarà anche che la coppia (m,p)= (5,7) dato che esiste che 7=5+2 . quindi è transitiva.
ho ragionato bene???
1) riflessiva se pongo m =5 ci sarà sicuramente che 5=5+0 quindi è riflessiva
2)antissimetria se pongo la coppia (5,7 ) deve esistere 7=5+2 mentre se pongo la coppia (7,5) deve esistere 5=7+qualcosa ma non è possibile dato che posso usare solo i numeri naturali, almeno che non prenda m ed n uguali solo in questo caso vale l'anitissimetria
3)transitività se pongo la coppia (m,n)= (5,6) sappiamo che ci sarà sicuramente 6=5+1 mentre se pongo la coppia (n,p)= (6,7) ci sarà sicuramente 7=6+1 e quindi ci sarà anche che la coppia (m,p)= (5,7) dato che esiste che 7=5+2 . quindi è transitiva.
ho ragionato bene???
Ni.
Tu non stai ragionando con una specifica coppia, tipo \((5,5)\), ma con una generica coppia del tipo \((m,m)\).
Vuoi mostrare che \((m,m)\in \mathfrak{R}\). Per fare ciò devi determinare esplicitamente un numero \(k=k_m\in \mathbb{N}\cup \{0\}\) tale che:
\[
m=m+k\; .
\]
Si vede che \(k=0\) è l'unico numero che può fare gioco. Perciò abbiamo mostrato che esiste \(k=0 \in \mathbb{N}\cup \{ 0\}\) tale che \(m=m+0\); quindi \((m,m)\in \mathfrak{R}\).
Analogamente, vogliamo mostrare che da \((m,n),(n,m)\in \mathfrak{R}\) segue necessariamente \(n=m\).
Per definizione di \(\mathfrak{R}\) esistono certamente un numero \(k\) ed un numero \(h\) in \(\mathbb{N}\cup \{0\}\) tali che:
\[
n=m+k \qquad \text{e} \qquad m=n+h\; ;
\]
ma, sostituendo la prima uguaglianza nella seconda si ottiene:
\[
m=m+(k+h)
\]
la quale è possibile solo se \(k+h=0\); ma la somma di due numeri dell'insieme \(\mathbb{N}\cup \{0\}\) è nulla se e solo se entrambi i suoi addendi sono nulli: perciò da \(k+h=0\) segue necessariamente \(k=0=h\) e perciò, sostituendo tali valori nelle uguaglianze precedenti, si trova:
\[
n=m+0=m
\]
(ed anche \(m=n+0\), ma ne basta una) che è la tesi.
Rimane da dimostrare che \((m,n),(n,p)\in \mathfrak{R}\) implica \((m,p)\in \mathfrak{R}\)... Usa di nuovo la definizione di \(\mathfrak{R}\)!
Tu non stai ragionando con una specifica coppia, tipo \((5,5)\), ma con una generica coppia del tipo \((m,m)\).
Vuoi mostrare che \((m,m)\in \mathfrak{R}\). Per fare ciò devi determinare esplicitamente un numero \(k=k_m\in \mathbb{N}\cup \{0\}\) tale che:
\[
m=m+k\; .
\]
Si vede che \(k=0\) è l'unico numero che può fare gioco. Perciò abbiamo mostrato che esiste \(k=0 \in \mathbb{N}\cup \{ 0\}\) tale che \(m=m+0\); quindi \((m,m)\in \mathfrak{R}\).
Analogamente, vogliamo mostrare che da \((m,n),(n,m)\in \mathfrak{R}\) segue necessariamente \(n=m\).
Per definizione di \(\mathfrak{R}\) esistono certamente un numero \(k\) ed un numero \(h\) in \(\mathbb{N}\cup \{0\}\) tali che:
\[
n=m+k \qquad \text{e} \qquad m=n+h\; ;
\]
ma, sostituendo la prima uguaglianza nella seconda si ottiene:
\[
m=m+(k+h)
\]
la quale è possibile solo se \(k+h=0\); ma la somma di due numeri dell'insieme \(\mathbb{N}\cup \{0\}\) è nulla se e solo se entrambi i suoi addendi sono nulli: perciò da \(k+h=0\) segue necessariamente \(k=0=h\) e perciò, sostituendo tali valori nelle uguaglianze precedenti, si trova:
\[
n=m+0=m
\]
(ed anche \(m=n+0\), ma ne basta una) che è la tesi.
Rimane da dimostrare che \((m,n),(n,p)\in \mathfrak{R}\) implica \((m,p)\in \mathfrak{R}\)... Usa di nuovo la definizione di \(\mathfrak{R}\)!
quindi se (m,n) appartiene ad r perché n=m+k ed (n,p) appartiene anche ad r perché p=n+h anche la coppia (m,p) appartiene ad R perché ci sarà sicuramente che p=m+t....dato che è stato dimostrato prima che sia m che p appartengono ad R giusto?
Esatto.
E non dimenticare di specificare che \(t=k+h\).
E non dimenticare di specificare che \(t=k+h\).
Grazie mille per l'aiuto, molto gentile!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo