Esercizio insiemi

[JDM89]

Ciao a tutti, sono bloccato su questo esercizio da un po'. Sia ( $ a_n $ ) una successione in R con $ a_n > 0 $ per ogni n. Supponiamo di sapere che esiste una
sottosuccessione $ (ak_n )n in N $ che converge a zero. Verificare che $ nn \nin N[0, an] = {0}. $
Credo si debba applicare il Teorema di Weierstrass ma non capisco come.Probabilmente non ho capito bene il teorema.Qualcuno può aiutarmi?

[Paolo902]

Metti il titolo in minuscolo, per piacere.

Per quanto riguarda l'esercizio, non mi sembra serva Weierstrass. Basta ragionare avendo scritto le definizioni. Infatti, un'inclusione della tua tesi è ovvia ($0$ sta banalmente in quella intersezione). Il punto è verificare il viceversa, cioè che
\[
x \in A:=\bigcap_{n \in \mathbb N} [0,a_n] \Rightarrow x=0
\]
Per ipotesi sai che c'è un'estratta convergente a zero, cioè
\[
\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \in \mathbb N: \quad k \ge N \Rightarrow \vert a_{n_k} - 0 \vert < \varepsilon.
\]
Fissa $x \in A$ e prendi \(\varepsilon = x\)...

[JDM89]

"Paolo90":Metti il titolo in minuscolo, per piacere.

Per quanto riguarda l'esercizio, non mi sembra serva Weierstrass. Basta ragionare avendo scritto le definizioni. Infatti, un'inclusione della tua tesi è ovvia ($0$ sta banalmente in quella intersezione). Il punto è verificare il viceversa, cioè che
\[
x \in A:=\bigcap_{n \in \mathbb N} [0,a_n] \Rightarrow x=0
\]
Per ipotesi sai che c'è un'estratta convergente a zero, cioè
\[
\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \in \mathbb N: \quad k \ge N \Rightarrow \vert a_{n_k} - 0 \vert < \varepsilon.
\]
Fissa $x \in A$ e prendi \(\varepsilon = x\)...

mmm non ho capito

[Paolo902]

Che cosa non hai capito? Che prove hai fatto? Dove ti sei impiantato? Che cosa non ti è chiaro di preciso?

[JDM89]

"Paolo90":Che cosa non hai capito? Che prove hai fatto? Dove ti sei impiantato? Che cosa non ti è chiaro di preciso?

Non ho capito cosa implica il fatto che la sottosuccessione converge a 0.

[Paolo902]

Quella che ho scritto è solo la definizione di successione convergente a zero. Ti torna questo? In altre parole comunque prendi \(\varepsilon>0\) si trova sempre un indice tale che la sottosuccessione, da quel punto in poi, sta sotto \(\varepsilon\).

[JDM89]

"Paolo90":Quella che ho scritto è solo la definizione di successione convergente a zero. Ti torna questo? In altre parole comunque prendi \(\varepsilon>0\) si trova sempre un indice tale che la sottosuccessione, da quel punto in poi, sta sotto \(\varepsilon\).

Sì questo l'ho capito. Non capisco il collegamento tra la sottosuccessione convergente e la successione an. Forse non ho capito bene cosa mi chiede l'esercizio a questo punto

[Paolo902]

Prova a farti un esempio, considerando un caso specifico: per esempio, \( a_n= \frac{1}{n}\) verifica le ipotesi del teorema (e anzi, è anche decrescente e lei stessa converge a zero, quindi non c'è bisogno di passare a un'estratta). Ebbene, allora l'intersezione di tutti gli intervalli \([0,\frac{1}{n}]\) è esattamente \(\{0\} \). Ora capisci che cosa ti chiede l'esercizio?

Per il resto, conosci la definizione di sottosuccessione?

[JDM89]

"Paolo90":Prova a farti un esempio, considerando un caso specifico: per esempio, \( a_n= \frac{1}{n}\) verifica le ipotesi del teorema (e anzi, è anche decrescente e lei stessa converge a zero, quindi non c'è bisogno di passare a un'estratta). Ebbene, allora l'intersezione di tutti gli intervalli \([0,\frac{1}{n}]\) è esattamente \(\{0\} \). Ora capisci che cosa ti chiede l'esercizio?

Per il resto, conosci la definizione di sottosuccessione?

Ho capito, grazie.