Esercizio insieme - Chiusura, Derivato...
Sia $A = { (x_1 , x_2 ) in RR^2 : x_1 in QQ , x_2 < 0 , (x_1)^2 + 4 (x_2)^2 <= 4 }$
Si tratta di un sottoinsieme dell'insieme dei punti interni all'ellisse di equazione $x^2 + 4 y^2 <= 4$ (bordo compreso, punti sull'asse delle $x$ esclusi); precisamente l'insieme dei punti che hanno ascissa razionale (nel disegno dovrebbero esserci delle "tratteggiature" verticali che danno l'idea della mancanza dei punti con ascissa irrazionale).
Veniamo al sodo:
1) Calcolare $bar A$, l'interno, $del A$ e il derivato.
Preso un punto qualsiasi $(x_1 , x_2) in A$, in ogni intorno del punto cadono punti del complementare (per la densità degli irrazionali nei reali) e punti di $A$. Questo significa che l'interno è vuoto e che $A subseteq del A$.
Non vale l'altra inclusione. Infatti appartengono alla frontiera tutti i punti che soddisfano la diseguaglianza $x^2 + 4 y^2 <= 4$, con $y <= 0$ (quindi anche i punti sull'asse delle $x$ "sopra il semi-ellisse").
Quindi $bar A = del A uu A = del A$ .
Non essendoci punti isolati, il derivato coincide con l'aderenza, quindi con $bar A = del A$.
Tutto corretto?
EDIT: Ho corretto. $del A$ è sempre un chiuso.
Si tratta di un sottoinsieme dell'insieme dei punti interni all'ellisse di equazione $x^2 + 4 y^2 <= 4$ (bordo compreso, punti sull'asse delle $x$ esclusi); precisamente l'insieme dei punti che hanno ascissa razionale (nel disegno dovrebbero esserci delle "tratteggiature" verticali che danno l'idea della mancanza dei punti con ascissa irrazionale).
Veniamo al sodo:
1) Calcolare $bar A$, l'interno, $del A$ e il derivato.
Preso un punto qualsiasi $(x_1 , x_2) in A$, in ogni intorno del punto cadono punti del complementare (per la densità degli irrazionali nei reali) e punti di $A$. Questo significa che l'interno è vuoto e che $A subseteq del A$.
Non vale l'altra inclusione. Infatti appartengono alla frontiera tutti i punti che soddisfano la diseguaglianza $x^2 + 4 y^2 <= 4$, con $y <= 0$ (quindi anche i punti sull'asse delle $x$ "sopra il semi-ellisse").
Quindi $bar A = del A uu A = del A$ .
Non essendoci punti isolati, il derivato coincide con l'aderenza, quindi con $bar A = del A$.
Tutto corretto?
EDIT: Ho corretto. $del A$ è sempre un chiuso.
Risposte
2) Determinare il $d = "sup"_(x, y in A) | x - y |$.
Svolgimento:
Intanto $| x - y |$ penso proprio voglia dire la distanza tra due punti in $RR^2$ (pitagora), visto che $x , y$ sono punti di $A subseteq RR^2$.
Non so se esiste un procedimento, ma io direi che si tratta della distanza tra i due punti $(- 2 , 0 )$ e $(2 , 0)$, cioè $4$. Ovviamente non sono punti dell'insieme, quindi il sup. non è massimo.
3) Determinare due successioni $(x_n)_n , (y_n)_n$ a valori in $A$ tali che:
$lim_n | x_n - y_n | = d$.
Svolgimento:
Per quanto osservato prima, i punti $bar x = (- 2 , 0 )$ e $bar y = (2 , 0)$ sono di accumulazione per i punti di $A$. Considero la palla aperta di centro $bar x$ e raggio $1/n$ : $B ( bar x , 1/n )$ . Osservo che $AA n , B ( bar x , 1/n ) nn A$ non è vuoto, quindi posso costruire una successione $x_n$ a valori in $A$ che converge a $bar x$. Stesse considerazioni di prima per costruire $(y_n)_n$ tale che $y_n -> bar y$.
$lim_n | x_n - y_n | = | bar x - bar y | = 4$.
E' corretto il ragionamento?
Svolgimento:
Intanto $| x - y |$ penso proprio voglia dire la distanza tra due punti in $RR^2$ (pitagora), visto che $x , y$ sono punti di $A subseteq RR^2$.
Non so se esiste un procedimento, ma io direi che si tratta della distanza tra i due punti $(- 2 , 0 )$ e $(2 , 0)$, cioè $4$. Ovviamente non sono punti dell'insieme, quindi il sup. non è massimo.
3) Determinare due successioni $(x_n)_n , (y_n)_n$ a valori in $A$ tali che:
$lim_n | x_n - y_n | = d$.
Svolgimento:
Per quanto osservato prima, i punti $bar x = (- 2 , 0 )$ e $bar y = (2 , 0)$ sono di accumulazione per i punti di $A$. Considero la palla aperta di centro $bar x$ e raggio $1/n$ : $B ( bar x , 1/n )$ . Osservo che $AA n , B ( bar x , 1/n ) nn A$ non è vuoto, quindi posso costruire una successione $x_n$ a valori in $A$ che converge a $bar x$. Stesse considerazioni di prima per costruire $(y_n)_n$ tale che $y_n -> bar y$.
$lim_n | x_n - y_n | = | bar x - bar y | = 4$.
E' corretto il ragionamento?
Riesumo questo argomento. C'è qualcuno che sa dirmi se è corretto quanto ho scritto? 
Non ho letto in dettaglio quanto hai scritto, ma l'esercizio è praticamente identico ad uno che avevi già postato (lì c'erano i raggi razionali anziché la coordinata $x_1$, ma nella sostanza il ragionamento procede allo stesso modo).
Mi sembra che sia tutto corretto quello che hai scritto.
Come successione $x_n$ potresti prendere $(-2+1/(n+1) ,-1/(n+1))$: si verifica subito che $lim_(n->+\infty)x_n=(-2,0)$ e che $AA n in NN\\{0}$ si ha che $x_n in A$.
Come successione $x_n$ potresti prendere $(-2+1/(n+1) ,-1/(n+1))$: si verifica subito che $lim_(n->+\infty)x_n=(-2,0)$ e che $AA n in NN\\{0}$ si ha che $x_n in A$.
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