Esercizio: insieme aperto e/o chiuso
Sia $A={x in QQ | x <= 2}$, dire se $A$ è aperto e/o chiuso.
Dunque, un insieme $A sube RR^n$ è aperto se ogni suo punto è interno, ossia $AAa in A, B(a,r) in A, r>0, r in RR$.
Dato che qualsiasi intorno sul punto $2$ "prende" punti che non appartengono ad $A$ ne consegue che $A$ non è aperto.
Ora per poter dire se $A$ è chiuso devo verificare che il complemento di $A$ sia aperto:
$CA={x in QQ | x> 2}$ cioè è un intervallo aperto in cui ogni punto è un punto interno, per cui è un insieme aperto.
In definitiva $A$ non è né aperto né chiuso.
E' corretto?
Dunque, un insieme $A sube RR^n$ è aperto se ogni suo punto è interno, ossia $AAa in A, B(a,r) in A, r>0, r in RR$.
Dato che qualsiasi intorno sul punto $2$ "prende" punti che non appartengono ad $A$ ne consegue che $A$ non è aperto.
Ora per poter dire se $A$ è chiuso devo verificare che il complemento di $A$ sia aperto:
$CA={x in QQ | x> 2}$ cioè è un intervallo aperto in cui ogni punto è un punto interno, per cui è un insieme aperto.
In definitiva $A$ non è né aperto né chiuso.
E' corretto?
Risposte
Non ho capito dove stai lavorando: in R o in Q?
Perchè se sei in R allora è vero che l'insieme non è aperto ma hai sbagliato il complementare...
Perchè se sei in R allora è vero che l'insieme non è aperto ma hai sbagliato il complementare...
Solo una cosa: il complemtentare di $A$ è $ccC (A)={x in QQ |x>2} uu {x in RR \\ QQ|x<=2}$
Scusate non ho indicato la topologia che è $QQ$.
Se sei in $QQ$ è la tipologia è quella euclidea allora l'insieme è chiuso perchè il suo complementare è aperto
E' vero, $A$ è chiuso proprio perchè $CA$ è aperto.
Lo stesso risultato vale anche se la topologia fosse $RR$?
Lo stesso risultato vale anche se la topologia fosse $RR$?
Temo che tu abbia una po' di confusione in testa riguardo al significato della parola "topologia", comunque passando a $RR$ dipende come definisci $A$: se diventa l'insieme degli $x \in RR$ minori o uguali di 2 allora è ancora chiuso, se invece resta definito come è adesso non è nè aperto nè chiuso.
"Glycerine":
Temo che tu abbia una po' di confusione in testa riguardo al significato della parola "topologia", comunque passando a $RR$ dipende come definisci $A$: se diventa l'insieme degli $x \in RR$ minori o uguali di 2 allora è ancora chiuso, se invece resta definito come è adesso non è nè aperto nè chiuso.
In effetti hai ragione, forse è questo il motivo di tanti dubbi. L'ultima domanda sulla topologia $RR$ l'ho fatta perché poi l'esercizio successivo è lo stesso di quello che ho indicato, solo che dice che la topologia è $RR$.
Altro esercizio: stabilire se il seguente insieme è aperto, chiuso, limitato:
$A:={(x,y) in RR^2 | x^2+y^2 < 2}$
$x$ in pratica è un intervallo aperto definito come $x=(-1,1)$ mentre $y$ è un intervallo aperto definito come $y=(-1,0)$.
$A$ allora è un insieme aperto in quanto ogni punto di $A$ è un punto interno e il complemento di $A$, che è
$CA := {(x,y) in RR^2 | x^2+y^2 >=2, AAx,y in RR} uu {(x,y) in RR^2| x^2+y^2<2, x>=0 ^^ y>=0}$
è un insieme chiuso in quanto non ogni punto di $CA$ è un punto interno.
E' giusto?
$A:={(x,y) in RR^2 | x^2+y^2 < 2}$
$x$ in pratica è un intervallo aperto definito come $x=(-1,1)$ mentre $y$ è un intervallo aperto definito come $y=(-1,0)$.
$A$ allora è un insieme aperto in quanto ogni punto di $A$ è un punto interno e il complemento di $A$, che è
$CA := {(x,y) in RR^2 | x^2+y^2 >=2, AAx,y in RR} uu {(x,y) in RR^2| x^2+y^2<2, x>=0 ^^ y>=0}$
è un insieme chiuso in quanto non ogni punto di $CA$ è un punto interno.
E' giusto?
Caro Gundam,
o non hai scritto bene il testo o lo svolgimento dell'esercizio, oppure hai fatto qualche errore.
Tieni presente che $A={(x,y) in RR^2 | x^2+y^2<2}$
è l'insieme di tutti i punti interni alla circonferenza di centro l'origine e raggio $sqrt2$:
[img]http://www3.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP70619ih75fgb8id81bf00004b79a750gfi7gc0c?MSPStoreType=image/gif&s=29&w=200&h=193&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips[/img]
(è il cerchio in blu, senza il bordo)
Quindi è ovviamente un aperto, e il suo complementare è $ccC(A)={(x,y) in RR^2 | x^2+y^2>=2}$ (un chiuso)
Piuttosto $A$ è un insieme.
$x$ può assumere valori nell'intervallo $(-sqrt2,sqrt2)$, non in $(-1,1)$
o non hai scritto bene il testo o lo svolgimento dell'esercizio, oppure hai fatto qualche errore.
Tieni presente che $A={(x,y) in RR^2 | x^2+y^2<2}$
è l'insieme di tutti i punti interni alla circonferenza di centro l'origine e raggio $sqrt2$:
[img]http://www3.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP70619ih75fgb8id81bf00004b79a750gfi7gc0c?MSPStoreType=image/gif&s=29&w=200&h=193&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips[/img]
(è il cerchio in blu, senza il bordo)
Quindi è ovviamente un aperto, e il suo complementare è $ccC(A)={(x,y) in RR^2 | x^2+y^2>=2}$ (un chiuso)
"GundamRX91":Questa frase proprio non l'ho capita. $x$ sarebbe un insieme?
$x$ in pratica è un intervallo aperto definito come $x=(-1,1)$ mentre $y$ è un intervallo aperto definito come $y=(-1,0)$.
Piuttosto $A$ è un insieme.
$x$ può assumere valori nell'intervallo $(-sqrt2,sqrt2)$, non in $(-1,1)$
Ciao Gi8, hai ragione e chiedo scusa, la traccia dell'esercizio non è completa; l'insieme $A$ è definito come
$A={(x,y) in RR^2 | x^2+y^2 < 2; y <0}$
Relativamente alle definizioni di $x$ e $y$ che ho dato, mi rendo conto che forse sono improprie o non adatte al contesto, ma le ho usate giusto per avere un riferimento di quali valori potessero assumere affinché la somma dei quadrati fosse minore di $2$, così ho pensato che $x$ potesse variare tra $-1$ e $1$ (da qui la definizione data di intervallo aperto), mentre $y$ essendo negativo poteva assumere valori compresi tra $-1$ e $0$ (con relativa definizione di intervallo aperto).
Dubbio: ma se $x$ varia tra $-sqrt(2)$ e $sqrt(2)$ elevandolo al quadrato avrei $2$ che sommato con un qualsiasi valore di $y$ mi darebbe un valore maggiore di $2$, o sbaglio?
PS. so che essendo un intervallo aperto il valore $sqrt(2)$ non lo posso usare, ma era giusto per capire
$A={(x,y) in RR^2 | x^2+y^2 < 2; y <0}$
Relativamente alle definizioni di $x$ e $y$ che ho dato, mi rendo conto che forse sono improprie o non adatte al contesto, ma le ho usate giusto per avere un riferimento di quali valori potessero assumere affinché la somma dei quadrati fosse minore di $2$, così ho pensato che $x$ potesse variare tra $-1$ e $1$ (da qui la definizione data di intervallo aperto), mentre $y$ essendo negativo poteva assumere valori compresi tra $-1$ e $0$ (con relativa definizione di intervallo aperto).
Dubbio: ma se $x$ varia tra $-sqrt(2)$ e $sqrt(2)$ elevandolo al quadrato avrei $2$ che sommato con un qualsiasi valore di $y$ mi darebbe un valore maggiore di $2$, o sbaglio?
PS. so che essendo un intervallo aperto il valore $sqrt(2)$ non lo posso usare, ma era giusto per capire
Ok, con questa definizione di $A$ hai che l'insieme è un semicerchio (sempre senza frontiera). Più precisamente è la metà bassa del cerchio della figura precedente
e hai che $(x,y) in A$
"GundamRX91":Comunque prendi $x in (-sqrt2,sqrt2)$ puoi scegliere $y in (-sqrt(2-x^2),0)$ (ad esempio, $y= -1/2 * sqrt(2-x^2)$)
Dubbio: ma se $x$ varia tra $-sqrt(2)$ e $sqrt(2)$ elevandolo al quadrato avrei $2$ che sommato con un qualsiasi valore di $y$ mi darebbe un valore maggiore di $2$, o sbaglio?
PS. so che essendo un intervallo aperto il valore $sqrt(2)$ non lo posso usare, ma era giusto per capire
e hai che $(x,y) in A$
Si, è vero!! La notte ha portato consiglio.... Grazie 
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