Esercizio Infiniti ed Infinitesimi
Ciao ragazzi , sto svolgendo un'esercizio sugli infiniti ed infinitesimi , e devo dire di aver capito poco come risolvere questo tipo di esercizio.
Devo determinare l'ordine di infinitesimo per $ x->0^+ $ di:
$ cos(x)*arctan(3x^3)/x $
Il testo mi dice semplicemente che l'ordine di infinitesimo è 2, facendo semplicemente:
$ lim_(x -> 0^+) 3*(cos(x)*arctan(3x^3))/(3x^3)=3 $
Potreste spiegarmi i passaggi da applicare e come si risolvono questi esercizi?
Grazie in anticipo!!
Devo determinare l'ordine di infinitesimo per $ x->0^+ $ di:
$ cos(x)*arctan(3x^3)/x $
Il testo mi dice semplicemente che l'ordine di infinitesimo è 2, facendo semplicemente:
$ lim_(x -> 0^+) 3*(cos(x)*arctan(3x^3))/(3x^3)=3 $
Potreste spiegarmi i passaggi da applicare e come si risolvono questi esercizi?
Grazie in anticipo!!
Risposte
Ti puoi rispondere da solo pensando alla definizione. Qual è la definizione di ordine di infinitesimo?
Ciao Biagio2580,
Nota bene che $cos(x) $ non è infinitesimo per $x \to 0^+ $ (infatti $\lim_{x \to 0^+} cos(x) = 1 $), quindi in effetti basta considerare $ arctan(3x^3)/x $ per stabilire l'ordine di infinitesimo di quell'espressione. Ricordati poi che sussiste il limite notevole (di agevole dimostrazione) seguente:
$\lim_{y \to 0^+} arctan(y)/y = 1 $
Nota bene che $cos(x) $ non è infinitesimo per $x \to 0^+ $ (infatti $\lim_{x \to 0^+} cos(x) = 1 $), quindi in effetti basta considerare $ arctan(3x^3)/x $ per stabilire l'ordine di infinitesimo di quell'espressione. Ricordati poi che sussiste il limite notevole (di agevole dimostrazione) seguente:
$\lim_{y \to 0^+} arctan(y)/y = 1 $
E come mai viene portato fuori il 3? sono d'accordo che viene applicato il limite notevole , ma perchè c'è un 3 fuori?
Non ti torna perché non ci stai ascoltando. Mi scrivi la definizione di ordine di infinitesimo?
Infinitesimo:un'applicazione $ f:A->R $ si dice infinitesima per x che tende a x0, quando f tende a 0 per x che tende a x0 , cioè
$ lim_(x -> x0) f(x)=0 $
Poi l'ordine dipende da quanto fa il limite tra 2 funzioni, ad esempio:
$ lim_(x -> x0) |f(x)|/(|g(x)|)=0 $ , f è un 'infinitesimo di ordine superiore a g.
L'infinitesimo di ordine superiore è in poche parole la funzione infinitesima che si avvicina a 0 più velocemente dell'altra.
$ lim_(x -> x0) f(x)=0 $
Poi l'ordine dipende da quanto fa il limite tra 2 funzioni, ad esempio:
$ lim_(x -> x0) |f(x)|/(|g(x)|)=0 $ , f è un 'infinitesimo di ordine superiore a g.
L'infinitesimo di ordine superiore è in poche parole la funzione infinitesima che si avvicina a 0 più velocemente dell'altra.
La parte teorica l'ho capita , non capisco come calcolarla.
No, quella non è la definizione di ordine di infinitesimo. Una definizione possibile, a grandi linee, è la seguente: "Sia $A \subseteq\mathbb{R}$ un insieme non vuoto, sia $\alpha>0$ un numero reale fissato, sia $x_0$ un punto di accumulazione per $A$ e sia $L \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Si dice che una funzione $f:A \to \mathbb{R}$ ha ordine di infinitesimo $\alpha$ per $x \to x_0$ se $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{|x-x_0|^\alpha}=L$."
In questo caso, $x_0=0$ ed $f(x)=\cos x \frac{\arctan(3x^3)}{x}$. Quindi, devi determinare $\alpha>0$ tale che:
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\cos x \frac{\arctan(3x^3)}{x}}{x^\alpha}=\lim_{x \to 0^+} \cos x\frac{\arctan(3x^3)}{x^{1+\alpha}}$$
sia finito non nullo. Ora, come ti ha già suggerito pilloeffe, $\cos x$ è ininfluente perché tende a $1$ per $x \to 0^+$. Perciò, devi ricondurre $\frac{\arctan(3x^3)}{x^{1+\alpha}}$ al limite notevole $\lim_{y \to 0^+}\frac{\arctan y}{y}=1$. Come puoi manipolare l'espressione $\frac{\arctan(3x^3)}{x^{1+\alpha}}$ per arrivare al limite notevole dell'arcotangente?
In questo caso, $x_0=0$ ed $f(x)=\cos x \frac{\arctan(3x^3)}{x}$. Quindi, devi determinare $\alpha>0$ tale che:
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\cos x \frac{\arctan(3x^3)}{x}}{x^\alpha}=\lim_{x \to 0^+} \cos x\frac{\arctan(3x^3)}{x^{1+\alpha}}$$
sia finito non nullo. Ora, come ti ha già suggerito pilloeffe, $\cos x$ è ininfluente perché tende a $1$ per $x \to 0^+$. Perciò, devi ricondurre $\frac{\arctan(3x^3)}{x^{1+\alpha}}$ al limite notevole $\lim_{y \to 0^+}\frac{\arctan y}{y}=1$. Come puoi manipolare l'espressione $\frac{\arctan(3x^3)}{x^{1+\alpha}}$ per arrivare al limite notevole dell'arcotangente?
moltiplicando e dividendo per $ 3x^3 $
Quindi, giungi a:
$$\lim_{x \to 0^+} \cos x \frac{\arctan(3x^3)}{3x^3} \cdot \frac{3x^3}{x^{1+\alpha}}$$
Per quale $\alpha>0$ questo limite è finito e non nullo?
$$\lim_{x \to 0^+} \cos x \frac{\arctan(3x^3)}{3x^3} \cdot \frac{3x^3}{x^{1+\alpha}}$$
Per quale $\alpha>0$ questo limite è finito e non nullo?
2 , in modo da semplificare $ x^3 $ con $ x^3 $
Sì, esatto. Quindi, quel $3$ che ti turbava spunta fuori dalla "compensazione" che si fa per far uscire fuori il limite notevole dell'arcotangente; tale limite notevole viene fuori perché vuoi che quel limite sia finito e non nullo per un certo $\alpha>0$, e vuoi che quel limite sia finito e non nullo per un certo $\alpha>0$ perché questo chiede la definizione di ordine di infinitesimo. Vedi che le cose le sai fare, visto che con pochissimi suggerimenti hai concluso? Ma, senza sapere le definizioni a menadito, è naturale che non ti vengano gli esercizi perché le definizioni sono alla base di tutto. 
Effettivamente ora comincio a capire .
Mi viene in mente un'altro esempio che però contraddice quello che ho capito fino ad ora:
determinare l'ordine di infinitesimo per $ x->0 $ di $ 5sin^2x $ (ovviamente questo è solo un pezzo , la funzione sarebbe composta da altri termini ma mi voglio soffermare su questo).
A questo punto applicherei il limite notevole del sin:
$ lim_(x -> 0) 5* sin^2x/x^2*x^2/x^(alpha +1)=5 $ . In questo caso, dalla tua definizione , risulterebbe
$ alpha =1 $ se non sbaglio , ma l'ordine di questo infinitesimo dovrebbe essere 2: dov'è che ho sbagliato?
Mi viene in mente un'altro esempio che però contraddice quello che ho capito fino ad ora:
determinare l'ordine di infinitesimo per $ x->0 $ di $ 5sin^2x $ (ovviamente questo è solo un pezzo , la funzione sarebbe composta da altri termini ma mi voglio soffermare su questo).
A questo punto applicherei il limite notevole del sin:
$ lim_(x -> 0) 5* sin^2x/x^2*x^2/x^(alpha +1)=5 $ . In questo caso, dalla tua definizione , risulterebbe
$ alpha =1 $ se non sbaglio , ma l'ordine di questo infinitesimo dovrebbe essere 2: dov'è che ho sbagliato?
Scrivi tutta la funzione, potrebbe anche esserci un errore nelle soluzioni o potrebbe esserci un errore su come hai trattato gli altri pezzi della funzione.
$ g(x)=x|x|+ 2log^2(sqrt|x|+1)-5sin^2x $ , e mi dice la funzione è somma di 3 infinitesimi.
Confermo che l'ordine di infinitesimo è $1$, quindi secondo me c'è un errore nelle soluzioni.
Potresti aiutarmi a svolgere a questo punto gli altri 2? Nel secondo credo si possano usare i limiti notevoli , ma in $ x|x| $ non saprei proprio come fare. Intanto provo a svolgere il secondo.
2)
$ lim_(x -> 0) 2log^2(sqrt|x|+1) $
voglio applicare il limite notevole del logaritmo:
$ log(x+1)/x=1 $ , e quindi ho:
$ lim_(x -> 0) 2 * (log^2(sqrt|x|+1))/ sqrt|x^2| * (sqrt|x^2|)/x^(alpha+1) $
A questo punto mi sorge una domanda: $(sqrt|x^2|)$ potrebbe essere subito semplificato con la radice e l'esponente della x , e venire x, ma a quel punto , a denominatore , per semplificare x , dovrei avere :$alpha=0$.
La mia domanda è :posso non semplificare in modo che possa fare : $ sqrt|x^2|/x^(alpha+1) $ , con $alpha=1$, per avere poi $ sqrt1=1 $ ?
A quel punto l'ordine di infinitesimo sarebbe 1, ed effettivamente ritorna con la soluzione
$ lim_(x -> 0) 2log^2(sqrt|x|+1) $
voglio applicare il limite notevole del logaritmo:
$ log(x+1)/x=1 $ , e quindi ho:
$ lim_(x -> 0) 2 * (log^2(sqrt|x|+1))/ sqrt|x^2| * (sqrt|x^2|)/x^(alpha+1) $
A questo punto mi sorge una domanda: $(sqrt|x^2|)$ potrebbe essere subito semplificato con la radice e l'esponente della x , e venire x, ma a quel punto , a denominatore , per semplificare x , dovrei avere :$alpha=0$.
La mia domanda è :posso non semplificare in modo che possa fare : $ sqrt|x^2|/x^(alpha+1) $ , con $alpha=1$, per avere poi $ sqrt1=1 $ ?
A quel punto l'ordine di infinitesimo sarebbe 1, ed effettivamente ritorna con la soluzione
Sì, la parte determinante per l'ordine di infinitesimo è proprio quel logaritmo che è al quadrato:
$\lim_{x \to 0^+} 2log^2(sqrt|x|+1)/(\sqrt|x|)^2 \cdot (\sqrt|x|)^2/x = \lim_{x \to 0^+} 2(log(sqrt|x|+1)/(\sqrt|x|))^2 \cdot |x|/x = 2 $
Attenzione che $\lim_{x \to 0} (g(x))/x $ non esiste, mentre si ha:
$\lim_{x \to 0^{\pm}} (g(x))/x = \pm 2 $
$\lim_{x \to 0^+} 2log^2(sqrt|x|+1)/(\sqrt|x|)^2 \cdot (\sqrt|x|)^2/x = \lim_{x \to 0^+} 2(log(sqrt|x|+1)/(\sqrt|x|))^2 \cdot |x|/x = 2 $
Attenzione che $\lim_{x \to 0} (g(x))/x $ non esiste, mentre si ha:
$\lim_{x \to 0^{\pm}} (g(x))/x = \pm 2 $
"pilloeffe":
Attenzione che $\lim_{x \to 0} (g(x))/x $ non esiste, mentre si ha:
$\lim_{x \to 0^{\pm}} (g(x))/x = \pm 2 $
Scusa, non capisco che intendi qua.
Poi:
"pilloeffe":
$ 2(log(sqrt|x|+1)/(\sqrt|x|))^2 \cdot |x|/x = 2 $
In questo caso , se a denominatore devo avere : $x^(alpha+1)$, essendo x sia sopra che sotto , non risulterebbe $alpha=0$ ?
Volevo anche sapere come si risolve :$x|x|$ , la soluzione mi dice che è un'infinitesimo di ordine 2 , ma non capisco come arrivarci in questo caso
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