Esercizio induzione
Ciao a tutti ,stavo facendo il seguente esercizio d'induzione:
Se $ x>−1$ allora $(1+x)^n ≥1+nx$, ed ho ragionato in questo modo(evito di mettere il caso base):
Passo induttivo
$(1+x)(1+x)^n >= 1 + (n+1)x$
$(1+x)(1+x)^n >= 1 + nx+x$
$(1+x)^n >= 1 + nx$ per ipotesi induttiva
e
$(1+x)>x$
Questo è il mio ragionamento,ho sbagliato qualcosa?
Vi ringrazio molto per l'attenzione
Se $ x>−1$ allora $(1+x)^n ≥1+nx$, ed ho ragionato in questo modo(evito di mettere il caso base):
Passo induttivo
$(1+x)(1+x)^n >= 1 + (n+1)x$
$(1+x)(1+x)^n >= 1 + nx+x$
$(1+x)^n >= 1 + nx$ per ipotesi induttiva
e
$(1+x)>x$
Questo è il mio ragionamento,ho sbagliato qualcosa?
Vi ringrazio molto per l'attenzione
Risposte
Non ha molto senso: vuoi dimostrare questa cosa $(1+x)^{n+1}\ge 1+(n+1)x$ e parti dall'idea che sia già verificata. Invece hai
$$(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^n\ge (1+x)(1+nx)=1+(n+1)x+nx^2\ge 1+(n+1)x$$
in quanto $nx^2\ge 0$.
$$(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^n\ge (1+x)(1+nx)=1+(n+1)x+nx^2\ge 1+(n+1)x$$
in quanto $nx^2\ge 0$.
Scusami ma il passo induttivo dovrebbe iniziare così $(1+x)(1+x)^n >= (1+x)(1 + nx)$ altrimenti parti dalla tesi ...
EDIT: ops, già fatto ...
EDIT: ops, già fatto ...
Scusatemi a lezione il prof stava facendo il seguente esercizio:
$2^n > n^2$
ed il passo induttivo :
$2^(n+1)>(n+1)^2 -> 2 * 2^n > n^2+2n+1$
Perché?
$2^n > n^2$
ed il passo induttivo :
$2^(n+1)>(n+1)^2 -> 2 * 2^n > n^2+2n+1$
Perché?
Perché ha lavorato al contrario ... solo che questo serve solo per trovare il metodo risolutivo (la strada da fare, insomma) però poi va dimostrato "al dritto" cioè dall'ipotesi alla tesi.
In questo caso $2^n > 2n +1$ per $n>=3$ e quindi $2^n + 2^n > n^2 +2n +1$ ed infine $2^(n+1)>(n+1)^2$
Cordialmente, Alex
In questo caso $2^n > 2n +1$ per $n>=3$ e quindi $2^n + 2^n > n^2 +2n +1$ ed infine $2^(n+1)>(n+1)^2$
Cordialmente, Alex
No scusami Alex non mi è molto chiaro potresti spiegarmi i passaggi gentilmente.
Ti ringrazio infinitamente
Ti ringrazio infinitamente
Dunque ...
Premesso che hai postato solo parte dell'esercizio, quindi ho dovuto fare delle supposizioni e, primariamente, che sia partito da questa $2^n > 2n+1$ per $n>=3$.
Presupponendo che questa sia corretta e cioè che l'ennesimo numero dispari sia inferiore all'ennesima potenza di due (spero che il prof intendesse questa e io mi fido di lui, chiunque esso sia ...
), aggiungo ad entrambi i membri la stessa quantità (cioè $2^n$ passaggio che però per brevità avevo saltato) e quindi ottengo $2^n+2^n > 2^n+2n+1$. A sto punto sfrutto l'ipotesi induttiva che mi dice che $2^n>n^2$ e quindi (sostituendo $n^2$ a $2^n$ diventa $2^n + 2^n > n^2 +2n +1$ che è equivalente a $2^(n+1)>(n+1)^2$. CVD.
Partire dalla fine (dalla tesi) può essere molto utile (soprattutto se non sai dove sbattere la testa); basta sapere quello che si fa ed essere capaci di rifare la dimostrazione nel senso giusto.
Chiaro?
Cordialmente, Alex
Premesso che hai postato solo parte dell'esercizio, quindi ho dovuto fare delle supposizioni e, primariamente, che sia partito da questa $2^n > 2n+1$ per $n>=3$.
Presupponendo che questa sia corretta e cioè che l'ennesimo numero dispari sia inferiore all'ennesima potenza di due (spero che il prof intendesse questa e io mi fido di lui, chiunque esso sia ...
), aggiungo ad entrambi i membri la stessa quantità (cioè $2^n$ passaggio che però per brevità avevo saltato) e quindi ottengo $2^n+2^n > 2^n+2n+1$. A sto punto sfrutto l'ipotesi induttiva che mi dice che $2^n>n^2$ e quindi (sostituendo $n^2$ a $2^n$ diventa $2^n + 2^n > n^2 +2n +1$ che è equivalente a $2^(n+1)>(n+1)^2$. CVD.Partire dalla fine (dalla tesi) può essere molto utile (soprattutto se non sai dove sbattere la testa); basta sapere quello che si fa ed essere capaci di rifare la dimostrazione nel senso giusto.
Chiaro?
Cordialmente, Alex
Scusa l'esercizio non è $2^n>2n+1$ ma $2^n>n^2$
Sì, lo so, l'ho capito ...
Ma il tuo prof è partito (presumibilmente) da una situazione già dimostrata (o data per nota).
Cioè parte da quella per dimostrare l'altra ... parte da $2^n > 2n+1$ per dimostrare $2^n>n^2$
Ma il tuo prof è partito (presumibilmente) da una situazione già dimostrata (o data per nota).
Cioè parte da quella per dimostrare l'altra ... parte da $2^n > 2n+1$ per dimostrare $2^n>n^2$
no il professore è partito diretamente da $2^n>n^2$ con $n>=3$
Sì, ho capito ... pero tu capisci a me ...
Il tuo prof voleva dimostrarti questa $2^n > n^2$, e per dimostratela è partito dalla tesi ed è giunto ad un punto in cui ha dato per scontato che quello che ha scritto fosse già stato dimostrato precedentemente (o comunque che voi già conoscevate).
Io, per dimostrartela sono partito dall'ipotesi usando il "teorema" che lui presumibilmente ha dato per scontato; detto in altro modo, ho usato un "teorema" per dimostrarne un altro.
Ho usato $2^n>2n+1$ per $n>=3$ per dimostrare che $2^n>n^2$ ma da $n>4$ però ...
Cordialmente, Alex
Il tuo prof voleva dimostrarti questa $2^n > n^2$, e per dimostratela è partito dalla tesi ed è giunto ad un punto in cui ha dato per scontato che quello che ha scritto fosse già stato dimostrato precedentemente (o comunque che voi già conoscevate).
Io, per dimostrartela sono partito dall'ipotesi usando il "teorema" che lui presumibilmente ha dato per scontato; detto in altro modo, ho usato un "teorema" per dimostrarne un altro.
Ho usato $2^n>2n+1$ per $n>=3$ per dimostrare che $2^n>n^2$ ma da $n>4$ però ...
Cordialmente, Alex
Help me please.
Non mi è molto chiaro del perché per la dimostrazione nel primo esercizio non posso mettere al secondo membro $n+1$ mentre nel secondo si
Non mi è molto chiaro del perché per la dimostrazione nel primo esercizio non posso mettere al secondo membro $n+1$ mentre nel secondo si
Scusami alex,io in questa materia , da come vedi, non sono molto portato quindi potremmo fare l'esercizio partendo da $2^n>n^2$ per $n>=3$?
Poi non so se valida o meno non mi importa più di tanto.
Ti ringrazio
Poi non so se valida o meno non mi importa più di tanto.
Ti ringrazio
Premesso che per $n=3$ non è vera ($2^3>3^2 => 8>9 => falsa$), lo svolgimento è quello che ho già fatto io o, a scelta, quello del prof.
Comunque ...
Passo base: è vera per $n=5$ perché $2^5>5^2 => 32>25$
Passo induttivo: prendiamo per vero che $2^n>n^2$ (ipotesi induttiva) e partendo da questa affermazione $2^n > 2n+1$ per $n>=3$ che dò per assodata (se vuoi dimostrala tu come esercizio) aggiungo ad entrambi i membri della disequazione $2^n$ ed ottengo $2^n+2^n > 2^n+2n+1$. Chiaro fino qui?
Per l'ipotesi induttiva sostituisco $2^n$ nel membro di destra con $n^2$ e quindi ottengo $2^n+2^n > n^2+2n+1$.
Chiaro fino qui?
Adesso semplifico e mi trovo $2^(n+1)>(n+1)^2$ che è quello che volevo dimostrare. Tutto chiaro?
Cordialmente, Alex
Comunque ...
Passo base: è vera per $n=5$ perché $2^5>5^2 => 32>25$
Passo induttivo: prendiamo per vero che $2^n>n^2$ (ipotesi induttiva) e partendo da questa affermazione $2^n > 2n+1$ per $n>=3$ che dò per assodata (se vuoi dimostrala tu come esercizio
) aggiungo ad entrambi i membri della disequazione $2^n$ ed ottengo $2^n+2^n > 2^n+2n+1$. Chiaro fino qui?Per l'ipotesi induttiva sostituisco $2^n$ nel membro di destra con $n^2$ e quindi ottengo $2^n+2^n > n^2+2n+1$.
Chiaro fino qui?
Adesso semplifico e mi trovo $2^(n+1)>(n+1)^2$ che è quello che volevo dimostrare. Tutto chiaro?
Cordialmente, Alex
Ciao Alex,senti io ancora non capisco da dove salta fuori $2n+1$
Ecco la dimostrazione del professore in cui non c'è questo $2n+1$:
Passo induttivo:
$2^(n+1)>(n+1)^2 -> 2 *2^n>n^2+2n+1
-> 2^n+2^n>n^2+2n+1$
A questo punto $2^n>n^2$ per ipotesi induttiva,quindi devo dimostrare che $2^n>2n+1$ ma se $n^2>=2n+1$(dimostrabile algebricamente) di conseguenza $2^n>n^2$
Cioè il $2n+1$ compare ma aggiungendo ad $n$ $ n+1$
però in quell'altro esercizio ho seguito lo stesso modello sostituendo $n+1$ alla formula e non andava bene perché avevate detto che davo già per dimostrato la cosa,mentre qui la dimostrazione parte proprio dal sostituire $n+1$ ad $n$.
E' questo che mi manda in confusione.
Vi ringrazio ancora per la disponibilità
Ecco la dimostrazione del professore in cui non c'è questo $2n+1$:
Passo induttivo:
$2^(n+1)>(n+1)^2 -> 2 *2^n>n^2+2n+1
-> 2^n+2^n>n^2+2n+1$
A questo punto $2^n>n^2$ per ipotesi induttiva,quindi devo dimostrare che $2^n>2n+1$ ma se $n^2>=2n+1$(dimostrabile algebricamente) di conseguenza $2^n>n^2$
Cioè il $2n+1$ compare ma aggiungendo ad $n$ $ n+1$
però in quell'altro esercizio ho seguito lo stesso modello sostituendo $n+1$ alla formula e non andava bene perché avevate detto che davo già per dimostrato la cosa,mentre qui la dimostrazione parte proprio dal sostituire $n+1$ ad $n$.
E' questo che mi manda in confusione.
Vi ringrazio ancora per la disponibilità
Capisco la tua confusione, ma se il tuo prof l'avesse dimostrata nel "senso giusto" (o quantomeno vi avesse spiegato perchè ha fatto così) ...
Se rileggi quello che ho scritto, vedrai che è la stessa cosa che ha detto il prof ... solo che è scritta in senso contrario!
La mia però è una dimostrazione, mentre quella del prof NON lo è. E mi spiego (ci tento più che altro ...)
Non puoi dimostrare che un'affermazione è vera dandola per vera, però puoi utilizzare questo modo di pensare per vedere dove si va a finire ... se, così facendo, trovi una strada che ti porta all'ipotesi iniziale ALLORA se la percorri al contrario (cioè partendo dall'ipotesi, come ho fatto io) ottieni la DIMOSTRAZIONE. Chiaro? (mah ...)
Oltre a questo, c'è un altro messaggio che ti voglio dare: NON esiste un unico metodo per provare il passo induttivo, quindi non è detto che quello che hai usato fino qua sia per forza il migliore (e sicuramente non l'unico).
Spero di esserti stato di aiuto e speriamo che qualcun altro aggiunga qualcosa di meglio ...
Cordialmente, Alex
Se rileggi quello che ho scritto, vedrai che è la stessa cosa che ha detto il prof ... solo che è scritta in senso contrario!
La mia però è una dimostrazione, mentre quella del prof NON lo è. E mi spiego (ci tento più che altro ...
)Non puoi dimostrare che un'affermazione è vera dandola per vera, però puoi utilizzare questo modo di pensare per vedere dove si va a finire ... se, così facendo, trovi una strada che ti porta all'ipotesi iniziale ALLORA se la percorri al contrario (cioè partendo dall'ipotesi, come ho fatto io) ottieni la DIMOSTRAZIONE. Chiaro? (mah ...)
Oltre a questo, c'è un altro messaggio che ti voglio dare: NON esiste un unico metodo per provare il passo induttivo, quindi non è detto che quello che hai usato fino qua sia per forza il migliore (e sicuramente non l'unico).
Spero di esserti stato di aiuto e speriamo che qualcun altro aggiunga qualcosa di meglio ...
Cordialmente, Alex
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