Esercizio geometria-equazioni differenziali ordinarie
Buongiorno a tutti,
mi sto imbattendo in un esercizio di un esame di equazioni differenziali, a mio parere semplice , ma non mi viene in mente alcuna idea su come procedere...l'esercizio in questione è :
\(\displaystyle \lambda \) è autovalore di una matrice A che ha come autovettore v , v è anche autovettore di \(\displaystyle e^{tA} \) , quale sarà l'autovalore di \(\displaystyle e^{tA} \) ?
Grazie mille in anticipo!
mi sto imbattendo in un esercizio di un esame di equazioni differenziali, a mio parere semplice , ma non mi viene in mente alcuna idea su come procedere...l'esercizio in questione è :
\(\displaystyle \lambda \) è autovalore di una matrice A che ha come autovettore v , v è anche autovettore di \(\displaystyle e^{tA} \) , quale sarà l'autovalore di \(\displaystyle e^{tA} \) ?
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Prova a scrivere le definizioni di autovalore e autovettore e vedi un po' che viene fuori.
ok grazie! mi sono riguardata le definizioni...però mi servirebbe un altro aiutino...per il momento sono giunta a queste conclusioni :
noi abbiamo : A matrice, v vettore non nullo , \(\displaystyle \lambda \) scalare tali che :
A(v) = \(\displaystyle \lambda \) v
e quindi v è autovettore di A e \(\displaystyle \lambda \) il suo autovalore; ci sarebbe forse anche un'altra osservazione utile del tipo che gli autovalori di una matrice non sono unici quindi come v è autovettore può esserlo anche sv e riuslta quindi A(sv) = sAv = s\(\displaystyle \lambda \) v = \(\displaystyle \lambda \) (sv)....
però poi da qua non riesco a fare il collegamento ad \(\displaystyle e^{tA} \) ...
noi abbiamo : A matrice, v vettore non nullo , \(\displaystyle \lambda \) scalare tali che :
A(v) = \(\displaystyle \lambda \) v
e quindi v è autovettore di A e \(\displaystyle \lambda \) il suo autovalore; ci sarebbe forse anche un'altra osservazione utile del tipo che gli autovalori di una matrice non sono unici quindi come v è autovettore può esserlo anche sv e riuslta quindi A(sv) = sAv = s\(\displaystyle \lambda \) v = \(\displaystyle \lambda \) (sv)....
però poi da qua non riesco a fare il collegamento ad \(\displaystyle e^{tA} \) ...
Uso i formalismi della matrice esponenziale senza fare discussioni sul perché o percome si possano usare. Sappiamo che
$e^{tA}=\sum_{n=0}^\infty {t^n A^n}/{n!}$
Poiché per ipotesi $Av=\lambda v$ e $e^{tA} v=\mu v$ (con $\mu$ da determinare, possiamo scrivere, ricordando che $A^n v=\lambda^n v$ (cosa che si dimostra facilmente)
$\mu v=e^{tA} v=(\sum_{n=0}^\infty{t^n A^n}/{n!})v=\sum_{n=0}^\infty {t^n}/{n!}\ A^n v=\sum_{n=0}^\infty {t^n \lambda^n}/{n!} v=e^{\lambda t} v$
e pertanto $\mu=e^{\lambda t}$.
$e^{tA}=\sum_{n=0}^\infty {t^n A^n}/{n!}$
Poiché per ipotesi $Av=\lambda v$ e $e^{tA} v=\mu v$ (con $\mu$ da determinare, possiamo scrivere, ricordando che $A^n v=\lambda^n v$ (cosa che si dimostra facilmente)
$\mu v=e^{tA} v=(\sum_{n=0}^\infty{t^n A^n}/{n!})v=\sum_{n=0}^\infty {t^n}/{n!}\ A^n v=\sum_{n=0}^\infty {t^n \lambda^n}/{n!} v=e^{\lambda t} v$
e pertanto $\mu=e^{\lambda t}$.
aaaaah ok! ora è tutto chiaro... grosso errore a non aver pensato subito alla matrice esponenziale... 
ti ringrazio infinitamente!
saluti
ti ringrazio infinitamente!
saluti
"Ale88ssia":
aaaaah ok! ora è tutto chiaro... grosso errore a non aver pensato subito alla matrice esponenziale...
ti ringrazio infinitamente!
saluti
Ma ma ma ma ma.... $e^{tA}$ secondo te che cos'è? Una navicella spaziale?????
prima di questa chiacchierata potrebbe essere! no a parte gli scherzi, si ok so che è la matrice esponenziale ma non mi ricordavo il discorso \(\displaystyle A^n v = \lambda ^n v \) quindi non arrivavo a capire che bisognasse operare con il suo sviluppo in serie...
ri-grazie comunque!
ri-grazie comunque!
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