Esercizio geometria analisi 1
Buonasera,
ho svolto questo esercizio così:
34) Un filo di lunghezza $ L $ viene tagliato in due parti, una per essere piegata a formare un quadrato e l’altra per formare un cerchio. In che punto deve essere fatto il taglio perché l’area complessiva racchiusa dalle due curve sia minima? Cosa si può dire se viene richiesto che l’area sia massima?
Considero che l'area del cerchio è minore di quella del quadrato (cerchio di diametro $ l $ ha area $ l^2 * pi/4 $ , mentre il quadrato di lato $ l $ ha area $ l^2 $ ).
Quindi se $ L1 $ è la lunghezza del filo da dedicare al cerchio e $ L2 $ quella da dedicare al quadrato,
per avere un'area minima faccio tendere $ L1 $ ad $ L $ , ed $ L2 $ ad $ 0 $ .
Vale il contrario per avere un'area massima.
Corretto?
ho svolto questo esercizio così:
34) Un filo di lunghezza $ L $ viene tagliato in due parti, una per essere piegata a formare un quadrato e l’altra per formare un cerchio. In che punto deve essere fatto il taglio perché l’area complessiva racchiusa dalle due curve sia minima? Cosa si può dire se viene richiesto che l’area sia massima?
Considero che l'area del cerchio è minore di quella del quadrato (cerchio di diametro $ l $ ha area $ l^2 * pi/4 $ , mentre il quadrato di lato $ l $ ha area $ l^2 $ ).
Quindi se $ L1 $ è la lunghezza del filo da dedicare al cerchio e $ L2 $ quella da dedicare al quadrato,
per avere un'area minima faccio tendere $ L1 $ ad $ L $ , ed $ L2 $ ad $ 0 $ .
Vale il contrario per avere un'area massima.
Corretto?
Risposte
Facciamo un passo indietro. Questi si chiamano problemi di ottimizzazione e richiedono in genere che tu faccia uso delle derivate, se non altro per poter affermare che si tratti di un esercizio di analisi.
Del filo lungo $L$, una parte $L_1$ è usata per fare il quadrato, una parte $L_2$ per fare il cerchio. Chiaramente $L_1$ sarà diviso a sua volta in quattro lati, ovvero $l=1/4L_1$, da cui \[\displaystyle \text{Area}_{ ~Q}=l^2=\frac{L_1^2}{16}\] D'altro canto, $L_2$ sarà usato per la circonferenza, quindi \[\displaystyle L_2=2\pi r \Rightarrow r=\frac{L_2}{2\pi} \Rightarrow \text{Area}_{ ~C}=\pi r^2 = \frac{L_2^2}{4\pi} \] Quindi \[\displaystyle \text{Area}_{ ~TOT}=\text{Area}_{ ~Q}+\text{Area}_{~C}=\frac{L_1^2}{16}+\frac{(L-L_1)^2}{4\pi} \] dove ho ricordato che \(\displaystyle L_2=L-L_1 \). Et voilà, adesso hai l'area totale in funzione della lunghezza a cui si trova il taglio, $L_1$, e puoi quindi derivare e trovare il minimo.
Del filo lungo $L$, una parte $L_1$ è usata per fare il quadrato, una parte $L_2$ per fare il cerchio. Chiaramente $L_1$ sarà diviso a sua volta in quattro lati, ovvero $l=1/4L_1$, da cui \[\displaystyle \text{Area}_{ ~Q}=l^2=\frac{L_1^2}{16}\] D'altro canto, $L_2$ sarà usato per la circonferenza, quindi \[\displaystyle L_2=2\pi r \Rightarrow r=\frac{L_2}{2\pi} \Rightarrow \text{Area}_{ ~C}=\pi r^2 = \frac{L_2^2}{4\pi} \] Quindi \[\displaystyle \text{Area}_{ ~TOT}=\text{Area}_{ ~Q}+\text{Area}_{~C}=\frac{L_1^2}{16}+\frac{(L-L_1)^2}{4\pi} \] dove ho ricordato che \(\displaystyle L_2=L-L_1 \). Et voilà, adesso hai l'area totale in funzione della lunghezza a cui si trova il taglio, $L_1$, e puoi quindi derivare e trovare il minimo.
Generalmente questo tipo di problemi vanno risolti in 3 passaggi:
1) Descrizione del problema in termini matematici.
2) Dimostrare che il problema ammette soluzioni
3) Trovare la o le soluzioni.
Weierstress ha scritto la soluzione del primo punto. Moltiplicando tutti i valori coincolti per la costante positiva \(\displaystyle 16\pi \) e normalizzando la lunghezza \(\displaystyle L \) del filo, il problema consiste nel trovare i valori massimi e minimi, se esistono, della funzione \(\displaystyle f\colon [ 0, 1 ]\to \mathbb{R} \) definita come \(\displaystyle f(x) = (\pi + 4) x^2 - 8x + 4 \).
La funzione \(\displaystyle f \) è continua su un intervallo chiuso e pertanto esistono massimi e minimi globali (per il teorema di Weierstrass). I massimi e minimi possono trovarsi sia agli estemi del dominio che al suo interno. I valori agli estremi sono \(\displaystyle f(0) = 4 \) e \(\displaystyle f(1) = \pi \).
Per trovari i possibili valori di massimo e minimo all'interno del dominio si usa il fatto che \(\displaystyle f \) è derivabile 2 volte in quel dominio (che teorema unisce massimi e minimi e derivate?). Lascio a te la conclusione dell'esercizio.
1) Descrizione del problema in termini matematici.
2) Dimostrare che il problema ammette soluzioni
3) Trovare la o le soluzioni.
Weierstress ha scritto la soluzione del primo punto. Moltiplicando tutti i valori coincolti per la costante positiva \(\displaystyle 16\pi \) e normalizzando la lunghezza \(\displaystyle L \) del filo, il problema consiste nel trovare i valori massimi e minimi, se esistono, della funzione \(\displaystyle f\colon [ 0, 1 ]\to \mathbb{R} \) definita come \(\displaystyle f(x) = (\pi + 4) x^2 - 8x + 4 \).
La funzione \(\displaystyle f \) è continua su un intervallo chiuso e pertanto esistono massimi e minimi globali (per il teorema di Weierstrass). I massimi e minimi possono trovarsi sia agli estemi del dominio che al suo interno. I valori agli estremi sono \(\displaystyle f(0) = 4 \) e \(\displaystyle f(1) = \pi \).
Per trovari i possibili valori di massimo e minimo all'interno del dominio si usa il fatto che \(\displaystyle f \) è derivabile 2 volte in quel dominio (che teorema unisce massimi e minimi e derivate?). Lascio a te la conclusione dell'esercizio.
"Weierstress":
Facciamo un passo indietro. Questi si chiamano problemi di ottimizzazione e richiedono in genere che tu faccia uso delle derivate, se non altro per poter affermare che si tratti di un esercizio di analisi.
Del filo lungo $L$, una parte $L_1$ è usata per fare il quadrato, una parte $L_2$ per fare il cerchio. Chiaramente $L_1$ sarà diviso a sua volta in quattro lati, ovvero $l=1/4L_1$, da cui \[\displaystyle \text{Area}_{ ~Q}=l^2=\frac{L_1^2}{16}\] D'altro canto, $L_2$ sarà usato per la circonferenza, quindi \[\displaystyle L_2=2\pi r \Rightarrow r=\frac{L_2}{2\pi} \Rightarrow \text{Area}_{ ~C}=\pi r^2 = \frac{L_2^2}{4\pi} \] Quindi \[\displaystyle \text{Area}_{ ~TOT}=\text{Area}_{ ~Q}+\text{Area}_{~C}=\frac{L_1^2}{16}+\frac{(L-L_1)^2}{4\pi} \] dove ho ricordato che \(\displaystyle L_2=L-L_1 \). Et voilà, adesso hai l'area totale in funzione della lunghezza a cui si trova il taglio, $L_1$, e puoi quindi derivare e trovare il minimo.
Ho fatto come hai detto tu, e viene che il punto di minimo è per L1 = 0, ed L1 è la parte di filo per il cerchio.
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