Esercizio funzione misurabile e integrale lebesgue
Salve a tutti, sono nuovo di qui e vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto.
L'esercizio in questione è il seguente:
Data una $f:[0,1]\to\R$ definita nel seguente modo:
$f(x)={ ( 3, "se " x=(2n)/(n^2+1)), (1, "altrimenti"):}$
con $n\in \N$
1)Provare che f è misurabile
2)Calcolare l'integrale secondo lebegue di $int_(0)^(1) f(x)dx$
Trovo proprio difficoltà ad applicare la definizione di misurabilità di una funzione per questo esercizio, come dovrei approcciarmi?
L'esercizio in questione è il seguente:
Data una $f:[0,1]\to\R$ definita nel seguente modo:
$f(x)={ ( 3, "se " x=(2n)/(n^2+1)), (1, "altrimenti"):}$
con $n\in \N$
1)Provare che f è misurabile
2)Calcolare l'integrale secondo lebegue di $int_(0)^(1) f(x)dx$
Trovo proprio difficoltà ad applicare la definizione di misurabilità di una funzione per questo esercizio, come dovrei approcciarmi?
Risposte
Ti sta sfuggendo un risultato essenziale: il limite puntuale di funzioni misurabili è una funzione misurabile.
O addirittura uno ancora più essenziale: la somma di funzioni semplici misurabili è misurabile.
Dato che dissonance e gugo mi sembrano un po' criptici 
aggiungo qualcosa anch'io: io cercherei di dimostrare che l'insieme
$E={x\in[0,1]: x=\frac{2n}{n^2+1}" per " n\in NN}$ (e quindi il suo complementare) e' misurabile (dopo di che entra in gioco gugo - anche senza la somma...).
aggiungo qualcosa anch'io: io cercherei di dimostrare che l'insieme$E={x\in[0,1]: x=\frac{2n}{n^2+1}" per " n\in NN}$ (e quindi il suo complementare) e' misurabile (dopo di che entra in gioco gugo - anche senza la somma...).
"ViciousGoblin":
Dato che dissonance e gugo mi sembrano un po' criptici
$E={x\in[0,1]: x=\frac{2n}{n^2+1}" per " n\in NN}$ (e quindi il suo complementare) e' misurabile (dopo di che entra in gioco gugo - anche senza la somma...).
Ok, però come dimostrare che quell'insieme è misurabile? Si tratta di scrivere un generico intervallo tra n+1 e n e verificare il limite?
Poi una volta dimostrata la misurabilità dei due insiemi, non si vede immediatamente che la convergenza c'è dato che sono valori costanti?
Perdonatemi ma anche avendo studiato la teoria mi risulta difficile l'applicazione di essa...
"tirofijo":
[quote="ViciousGoblin"]Dato che dissonance e gugo mi sembrano un po' criptici
$E={x\in[0,1]: x=\frac{2n}{n^2+1}" per " n\in NN}$ (e quindi il suo complementare) e' misurabile (dopo di che entra in gioco gugo - anche senza la somma...).
Ok, però come dimostrare che quell'insieme è misurabile? Si tratta di scrivere un generico intervallo tra n+1 e n e verificare il limite?
Poi una volta dimostrata la misurabilità dei due insiemi, non si vede immediatamente che la convergenza c'è dato che sono valori costanti?
Perdonatemi ma anche avendo studiato la teoria mi risulta difficile l'applicazione di essa...[/quote]
Per la prima domanda osserva che le $x$ del tipo $x=\frac{2n}{n^2+1}$ sono tante quanti sono gli interi $n$ e dunque ...
Riguardo alla misurabilita' della funzione, che definizione hai di funzione misurabile ? Ti faccio comunque notare che se $E$ ed $E'=[0,1]\setminus E$ sono misurabili la tua e' una
"funzione semplice"dato che la si puo' scrivere come $3\cdot 1_E+1_{E'}$ (intendendo con $1_A$ la funzione caratteristica dell'insieme $A$)
Questo esercizio ora mi è chiaro e vi ringrazio.
Ne ho incontrato uno similare che è il seguente:
Data una $f:[0,1]\to\R$ definita nel seguente modo:
$f(x)={ ( n, "se " x=(1)/(2n+1)), (5, "altrimenti"):}$
con $n\in \N$
Mi si chiede di 1) verificare che $f\in L_{\infty}[0,1]$ e valutare la relativa norma.
2)Verificare se $f\in L_{1}[0,1]$
Ora in base a quanto detto il primo sottoinsieme è numerabile ed ha misura nulla, il secondo è misurabile anche perchè complementare ad esso ed ha misura 1.
Ora però come faccio in base a quanto detto a calcolare sfruttando l'integrale di f per dimostrare 1 e 2?
Devo usare in maniera appropriata la disuguaglianza di Hölder?
Ne ho incontrato uno similare che è il seguente:
Data una $f:[0,1]\to\R$ definita nel seguente modo:
$f(x)={ ( n, "se " x=(1)/(2n+1)), (5, "altrimenti"):}$
con $n\in \N$
Mi si chiede di 1) verificare che $f\in L_{\infty}[0,1]$ e valutare la relativa norma.
2)Verificare se $f\in L_{1}[0,1]$
Ora in base a quanto detto il primo sottoinsieme è numerabile ed ha misura nulla, il secondo è misurabile anche perchè complementare ad esso ed ha misura 1.
Ora però come faccio in base a quanto detto a calcolare sfruttando l'integrale di f per dimostrare 1 e 2?
Devo usare in maniera appropriata la disuguaglianza di Hölder?
1) Basta usare la definizione: $f\in L^{\infty}(0,1)$ se e solo se l'insieme
$S = \{C\ge 0: |f(x)|\le C \text{ per quasi ogni } x\in [0,1]\}$ è non vuoto.
In tal caso $||f||_{\infty} = \text{inf } S$.
2) Dal momento che $[0,1]$ è un intervallo limitato, se $f\in L^{\infty}(0,1)$ allora $f\in L^1(0,1)$.
$S = \{C\ge 0: |f(x)|\le C \text{ per quasi ogni } x\in [0,1]\}$ è non vuoto.
In tal caso $||f||_{\infty} = \text{inf } S$.
2) Dal momento che $[0,1]$ è un intervallo limitato, se $f\in L^{\infty}(0,1)$ allora $f\in L^1(0,1)$.
1) Hai provato a fare un disegnino? Si capisce subito se [tex]$f\in L^\infty$[/tex] o meno... 
2) Hölder è troppo... Per me basta scrivere la definizione di [tex]$||f||_1$[/tex] e maggiorare opportunamente l'integrando.
2) Hölder è troppo... Per me basta scrivere la definizione di [tex]$||f||_1$[/tex] e maggiorare opportunamente l'integrando.
Ok, tutto chiaro!
Di nuovo grazie mille e colgo l'occasione per augurare a tutti un sereno anno nuovo!
Di nuovo grazie mille e colgo l'occasione per augurare a tutti un sereno anno nuovo!
"tirofijo":
Salve a tutti, sono nuovo di qui e vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto.
L'esercizio in questione è il seguente:
Data una $f:[0,1]\to\R$ definita nel seguente modo:
$f(x)={ ( 3, "se " x=(2n)/(n^2+1)), (1, "altrimenti"):}$
con $n\in \N$
1)Provare che f è misurabile
2)Calcolare l'integrale secondo lebegue di $int_(0)^(1) f(x)dx$
Trovo proprio difficoltà ad applicare la definizione di misurabilità di una funzione per questo esercizio, come dovrei approcciarmi?
Ciao è da qualche settimana che sto studiando gli stessi concetti ho provato a risolverlo e forse il risultato è giusto.
Sul fatto che $f_n(x) $ sia misurabile non ne ho la piu' minima idea pero' sul calcolo dell'integrale forse è cosi:
Se calcoli il limite puntuale della successione dovrebbe venire $ lim_(n -> +oo) f_n(x) ={ (3 ),( 1 ):x=0, x in [0,1]\{0}} $
quindi hai che il max valore che assume la funzione limite $g(x)=1 $ per quasi ogni $x in [0,1]$.
Quest'ultima , $g(x)$ , la puoi usare come maggiorazione con il teorema della convergenza dominata (almeno credo) cioe' cosi' :
$|f_n(x)|<=g(x)$ il che implica che si può scambiare il limite sotto il segno d'integrale cioe' vale la seguente :
$ lim_(n -> +oo) int_(0)^(1) f_n(x) dx = int_(0)^(1) g(x) dx =int_(0)^(1) 1 dx = 1 $ .
spero ti sia di aiuto.
Se ho commesso degli errori aiutate anche me
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