Esercizio funzione integrale...

[inv3rse]

Ciao a tutti, oggi mi sono trovato di fronte questo esercizio:

Sia $ f:R->R $ una funzione continua. Definita

$ phi (x)=int_(0)^(x) f(tx) dt $

Caclolare $ phi '(x) $ .

C'è poi un suggerimento che dice: "introdurre il cambio di variabile $ tx=y $ ...

Qualcuno saprebbe spiegarmi come si risolve un esercizio di questo tipo?... Grazie mille a tutti...

[Nietzsche610]

Ciao!
Intanto puoi notare che, essendo $f$ continua su $RR$, allora essa è sicuramente integrabile, dunque ammetterà primitiva.
Denotiamo con $F$ la primitiva di $f$; imponendo la sostituzione $tx=y$, ottieni:

$t=y/x->dt=1/xdy$.

A questo punto hai :

$\phi(x)=\int_{0}^xf(tx)dt=1/x\int_{0}^(x^2)f(y)dy=1/x[F(x^2)-F(0)]$,

per la condizione di integrabilità precedente.
Quindi, sfruttando la derivazione di funzioni composte:

$\phi'(x)=2f(x^2)-[F(x^2)-F(0)]/x^2=2f(x^2)-[\phi(x)]/x$.

Spero di esserti stato d'aiuto!