Esercizio funzione in due variabili
Ciao a tutti! Ho alcuni dubbi in questo problema:
"Per $alpha>=0$ sia $f_alpha(x,y)=2x^4-alphax^2y^2+y^4$
a)Per quali $alpha>=0$ esiste il limite per $x^2+y^2 to +infty$ di $f_alpha(x,y)$?
b)Provare che per ogni $(x,y) in RR^2$ si ha $abs(x^3y)<=f_0(x,y)$
c)Per quali $alpha>=0$ esiste una costante $M_alpha$ tale che per ogni $(x,y) in RR^2$ si ha $abs(x^3y)<=M_alpha abs(f_alpha(x,y))$
Poi c'era una domanda aggiuntiva carina (più difficile) che è questa: sia $alpha_0:=$ sup${alpha:esiste M_alpha}$ Calcolare $ lim_(alpha to alpha_0^-) (alpha_0 - alpha)M_alpha$
Comunque io ho incominciato così:
Osservo che $f_alpha(0,t) to +infty$, dunque se il limite esiste deve valere $+infty$
Osservo anche che usando la restrizione $f(t,t)=(3-alpha)t^4$ e per $alpha >=3$ il limite non esiste poiché con la restrizione andrebbe a $-infty$ o $0 $(questo per $alpha=3$) in contrasto con la prima osservazione
Per $alpha<3$ ho:$ f_alpha(x,y)=(x^2-alpha/2y^2)^2+(4-alpha^2)/4y^4+x^4$. Ora se $4-alpha^2>=0$(ovvero per $\alpha<=2$) posso concludere l'esistenza del limite perché $f_alpha(x,y)>=(4-alpha^2)/4y^4+x^4$ che va a $+infty$. Mi rimane aperto però il caso $alpha in (2,3)$...
Mentre per il secondo punto se si studia un pochino la funzione $g(x,y)=abs(x^3y)/(2x^4+y^4)$, si vede che ha sup uguale a $(54)^(1/4)/3$ che è minore di 1
Per il terzo punto ,invece, potrebbe venirmi in aiuto il primo punto forse. Per i valori per cui non esiste il limite scommetterei sulla non esistenza di quella costante $M_alpha$, però non saprei come dimostrarlo
Qualche aiutino su questo esercizio?
"Per $alpha>=0$ sia $f_alpha(x,y)=2x^4-alphax^2y^2+y^4$
a)Per quali $alpha>=0$ esiste il limite per $x^2+y^2 to +infty$ di $f_alpha(x,y)$?
b)Provare che per ogni $(x,y) in RR^2$ si ha $abs(x^3y)<=f_0(x,y)$
c)Per quali $alpha>=0$ esiste una costante $M_alpha$ tale che per ogni $(x,y) in RR^2$ si ha $abs(x^3y)<=M_alpha abs(f_alpha(x,y))$
Poi c'era una domanda aggiuntiva carina (più difficile) che è questa: sia $alpha_0:=$ sup${alpha:esiste M_alpha}$ Calcolare $ lim_(alpha to alpha_0^-) (alpha_0 - alpha)M_alpha$
Comunque io ho incominciato così:
Osservo che $f_alpha(0,t) to +infty$, dunque se il limite esiste deve valere $+infty$
Osservo anche che usando la restrizione $f(t,t)=(3-alpha)t^4$ e per $alpha >=3$ il limite non esiste poiché con la restrizione andrebbe a $-infty$ o $0 $(questo per $alpha=3$) in contrasto con la prima osservazione
Per $alpha<3$ ho:$ f_alpha(x,y)=(x^2-alpha/2y^2)^2+(4-alpha^2)/4y^4+x^4$. Ora se $4-alpha^2>=0$(ovvero per $\alpha<=2$) posso concludere l'esistenza del limite perché $f_alpha(x,y)>=(4-alpha^2)/4y^4+x^4$ che va a $+infty$. Mi rimane aperto però il caso $alpha in (2,3)$...
Mentre per il secondo punto se si studia un pochino la funzione $g(x,y)=abs(x^3y)/(2x^4+y^4)$, si vede che ha sup uguale a $(54)^(1/4)/3$ che è minore di 1
Per il terzo punto ,invece, potrebbe venirmi in aiuto il primo punto forse. Per i valori per cui non esiste il limite scommetterei sulla non esistenza di quella costante $M_alpha$, però non saprei come dimostrarlo
Qualche aiutino su questo esercizio?
Risposte
Forse per il primo punto ti conviene ragionare in polari...
Per il terzo punto basta notare che la funzione rapporto è zero omogenea, quindi puoi ridurti ad uno studio di analisi 1 della funzione rapporto sulle rette (t,mt) e quindi studiare una funzione in m con parametro alpha.
A quel punto trovi come è fatto il generico $M_\alpha$ e (almeno brutalmente) dovresti anche capire cosa fa quel limite della bonus
Per il terzo punto basta notare che la funzione rapporto è zero omogenea, quindi puoi ridurti ad uno studio di analisi 1 della funzione rapporto sulle rette (t,mt) e quindi studiare una funzione in m con parametro alpha.
A quel punto trovi come è fatto il generico $M_\alpha$ e (almeno brutalmente) dovresti anche capire cosa fa quel limite della bonus
Allora in polari trovo una cosa del genere: $rho^4(2cos^4theta+sin^4theta-alphacos^2thetasin^2theta)>=rho^4(m-alpha)$ con $m=min{2cos^4theta+sin^4theta, theta in [0,2pi]}$. Se calcolo questo m vedo che risulta $m=2/3$. Dunque se $alpha<2/3$ il limite esiste. Dunque per $alpha>=2/3$ non dovrebbe esistere(cosa che dovrei far vedere comunque) 
Allora sopra avevo fatto un po' di cavolate
Mentre per il terzo punto se studio la funzione sulle rette $(t,mt)$ trovo $g(m)=m/(2-alpham^2+m^4)$. E con un po' di conti sono giunto a queste conclusioni:
se $alpha<2sqrt(2)$, $g(m)$ è definita ovunque e studiando la derivata trovo che ha un punto di massimo in $m_0=sqrt((alpha+sqrt(alpha^2+24))/6)$ (odio i conti
). Dunque dovrebbe essere $g(m_0)=M_alpha$
se $alpha >=2sqrt(2)$ , il denominatore ha uno zero, dunque la g non è definita ovunque ed "esplode"(da cui la non esistenza della costante $M_alpha$
Allora sopra avevo fatto un po' di cavolateMentre per il terzo punto se studio la funzione sulle rette $(t,mt)$ trovo $g(m)=m/(2-alpham^2+m^4)$. E con un po' di conti sono giunto a queste conclusioni:
se $alpha<2sqrt(2)$, $g(m)$ è definita ovunque e studiando la derivata trovo che ha un punto di massimo in $m_0=sqrt((alpha+sqrt(alpha^2+24))/6)$ (odio i conti
). Dunque dovrebbe essere $g(m_0)=M_alpha$se $alpha >=2sqrt(2)$ , il denominatore ha uno zero, dunque la g non è definita ovunque ed "esplode"(da cui la non esistenza della costante $M_alpha$
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