Esercizio funzione in 2 variabili con parametro
studiare nell' origine e al variare di $a>0$ la continuità, le derivate parziali e la differenziabilità della funzione:
$f(x,y)={((exp(|xy|^a)-1)/(sqrt(x^2+y^2)),if (x,y)!=0),(0,if (x,y)=0):}$
provo a riportare la mia risoluzione incompleta (ho ipotizzato che $exp(|xy|^a)=e^(|xy|^a)$) e dove ho qualche dubbio:
$text{Continuità}$ in $(x,y)->(0,0)$
il primo dubbio che ho è la validità dell'asintotico anche con 2 variabili. Supponendolo vero (non ho trovato quasi nulla a riguardo) ho reso:
$f(x,y)~(|xy|^a)/sqrt(x^2+y^2)$ da cui passando alle coordinate polari ottengo
$f(x,y)~((rho)^2*|cos(theta)sin(theta)|^a)/sqrt((rho)^2(cos(theta)^2+ sin(theta)^2))$ $=rho*|cos(theta)*sin(theta)|^a$ e dunque facendo il $lim_(rho->0^+) rho*|cos(theta)*sin(theta)|^a=0$
e dunque $f$ è continua in $(0,0)$ $AA a>0$. E' corretto?
$text{derivate parziali}$ :
$(d_f/d_x)(0,0)=lim_(t->0)[f(t,0)-f(0,0)]/t=(e^(t*0)-1)/(|t|*t)=0$ $AA a>0$
$(d_f/d_y)(0,0)=lim_(t->0)[f(0,t)-f(0,0)]/t=(e^(0*t)-1)/(|t|*t)=0$ $AA a>0$
E' corretto?
$text{differenziabilità}$
$lim((x,y)->(0,0))(e^(|xy|^a)-1)/(sqrt(x^2+y^2))*(1/sqrt(x^2+y^2))$ $=(e^(|xy|^a)-1)/(x^2+y^2)$
ora però non riesco a capire come terminare questo limite.
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie
$f(x,y)={((exp(|xy|^a)-1)/(sqrt(x^2+y^2)),if (x,y)!=0),(0,if (x,y)=0):}$
provo a riportare la mia risoluzione incompleta (ho ipotizzato che $exp(|xy|^a)=e^(|xy|^a)$) e dove ho qualche dubbio:
$text{Continuità}$ in $(x,y)->(0,0)$
il primo dubbio che ho è la validità dell'asintotico anche con 2 variabili. Supponendolo vero (non ho trovato quasi nulla a riguardo) ho reso:
$f(x,y)~(|xy|^a)/sqrt(x^2+y^2)$ da cui passando alle coordinate polari ottengo
$f(x,y)~((rho)^2*|cos(theta)sin(theta)|^a)/sqrt((rho)^2(cos(theta)^2+ sin(theta)^2))$ $=rho*|cos(theta)*sin(theta)|^a$ e dunque facendo il $lim_(rho->0^+) rho*|cos(theta)*sin(theta)|^a=0$
e dunque $f$ è continua in $(0,0)$ $AA a>0$. E' corretto?
$text{derivate parziali}$ :
$(d_f/d_x)(0,0)=lim_(t->0)[f(t,0)-f(0,0)]/t=(e^(t*0)-1)/(|t|*t)=0$ $AA a>0$
$(d_f/d_y)(0,0)=lim_(t->0)[f(0,t)-f(0,0)]/t=(e^(0*t)-1)/(|t|*t)=0$ $AA a>0$
E' corretto?
$text{differenziabilità}$
$lim((x,y)->(0,0))(e^(|xy|^a)-1)/(sqrt(x^2+y^2))*(1/sqrt(x^2+y^2))$ $=(e^(|xy|^a)-1)/(x^2+y^2)$
ora però non riesco a capire come terminare questo limite.
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie
Risposte
-.-" E che fine ha fatto $a$ nel limite della continuità?
Per l'ultimo limite: la stessa tecnica che hai usato sopra...
Per l'ultimo limite: la stessa tecnica che hai usato sopra...
"gugo82":
-.-" E che fine ha fatto $a$ nel limite della continuità?
Per l'ultimo limite: la stessa tecnica che hai usato sopra...
non ho capito la tua domanda sulla continuità: nel senso arrivo ad ottenere $rho*|sin(theta)cos(theta)|^a$ e dunque non tende a $0$ indipendentemente da $a$?
l'ultima parte non ho capito come farla: usando le coordinate polari ottengo solo $lim_(rho->0^+)|sin(theta)cos(theta)|^a$
"Aletzunny":
[quote="gugo82"]-.-" E che fine ha fatto $a$ nel limite della continuità?
Per l'ultimo limite: la stessa tecnica che hai usato sopra...
non ho capito la tua domanda sulla continuità: nel senso arrivo ad ottenere $rho*|sin(theta)cos(theta)|^a$ e dunque non tende a $0$ indipendentemente da $a$?[/quote]
Ma controlla i conti, invece di postare...
"Aletzunny":
l'ultima parte non ho capito come farla: usando le coordinate polari ottengo solo $lim_(rho->0^+)|sin(theta)cos(theta)|^a$
E ti pare poco?
"gugo82":
[quote="Aletzunny"][quote="gugo82"]-.-" E che fine ha fatto $a$ nel limite della continuità?
Per l'ultimo limite: la stessa tecnica che hai usato sopra...
non ho capito la tua domanda sulla continuità: nel senso arrivo ad ottenere $rho*|sin(theta)cos(theta)|^a$ e dunque non tende a $0$ indipendentemente da $a$?[/quote]
Ma controlla i conti, invece di postare...
"Aletzunny":
l'ultima parte non ho capito come farla: usando le coordinate polari ottengo solo $lim_(rho->0^+)|sin(theta)cos(theta)|^a$
E ti pare poco?[/quote]
alla prima affermazione hai perfettamente ragione perchè sarebbe
$lim_(rho->0^+) (rho)^(2a-1)*|sin(theta)cos(theta)|^a$ che tende a zero solo se $a>1/2$
per la seconda affermazione invece non sto capendo: nel senso ho dimostrato che non tende a zero uniformemente per qualsiasi $theta$ ma ciò mi basta per dire che non è differenziabile? ho qui qualche dubbio
Ora Ok.
Per la seconda, è evidente che se il limite non viene zero "uniformemente" rispetto a $\theta$, la tua funzione non può essere differenziabile.
Per la seconda, è evidente che se il limite non viene zero "uniformemente" rispetto a $\theta$, la tua funzione non può essere differenziabile.
per la seconda perfetto, in effetti ha senso.
nella seconda non trovo l'errore, quindi provo a scrivere tutti i passaggi.
$|rho*cos(theta)*rho*sin(theta)|^a/sqrt(rho^2*cos(theta)^2+rho^2*sin(theta)^2$
$rho->o^+$ quindi è positivo:
$rho^(2a)*|cos(theta)*sin(theta)|^a/sqrt(rho^2(cos(theta)^2+sin(theta))^2$
$rho^(2a)*|cos(theta)*sin(theta)|^a/(rho*sqrt(1)$
$rho^(2a-1)*|cos(theta)*sin(theta)|^a$
nella seconda non trovo l'errore, quindi provo a scrivere tutti i passaggi.
$|rho*cos(theta)*rho*sin(theta)|^a/sqrt(rho^2*cos(theta)^2+rho^2*sin(theta)^2$
$rho->o^+$ quindi è positivo:
$rho^(2a)*|cos(theta)*sin(theta)|^a/sqrt(rho^2(cos(theta)^2+sin(theta))^2$
$rho^(2a)*|cos(theta)*sin(theta)|^a/(rho*sqrt(1)$
$rho^(2a-1)*|cos(theta)*sin(theta)|^a$
niente ho visto dopo la modifica!
rivedendo i calcoli allora la $text{differenziabilità}$ viene
$lim_(rho->0^+) (rho)^(2a-2)|cos(theta)sin(theta)|$ $=0$ se $a>1$
corretto?
$lim_(rho->0^+) (rho)^(2a-2)|cos(theta)sin(theta)|$ $=0$ se $a>1$
corretto?
Ad occhio direi di sì, cioè per $a>1$ la tua $f$ è differenziabile in $(0,0)$.
Cosa succede per $1/2 < a <= 1$?
E cosa succede negli altri punti del piano?
Cosa succede per $1/2 < a <= 1$?
E cosa succede negli altri punti del piano?
che $f$ è continua ma non differenziabile nonostante la condizione solo necessaria che tutte le derivate parziali esistano è soddisfatta.
questo se $1/2<=a<=1$.
negli altri punti del piano non andrebbe studiata punto a punto?
questo se $1/2<=a<=1$.
negli altri punti del piano non andrebbe studiata punto a punto?
Mi stanno vendendo dei dubbi per gli altri punti del piano...come si può determinare la differenziabilità senza doverla per forza analizzare?
Grazie
Grazie
Usando la teoria.
Cosa sai delle funzioni differenziabili?
Cosa sai delle funzioni differenziabili?
"gugo82":
Usando la teoria.
Cosa sai delle funzioni differenziabili?
questi due teoremi:
1) se $f(x,y)$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$ allora $f(x,y)$ è continua in $(x_0,y_0)$, $f(x,y)$ ha derivate direzionali in $(x_0,y_0)$ lungo ogni direzione $v in RR^2$, esistono finite le derivate parziali in $(x_0,y_0)$
2) $f(x,y)$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$ se esiste $T:RR^n->RR$ operatore lineare tale che
$lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0)-T_h)/||h||=0$ dove $h$ è un vettore di $RR^n$ che tende a zero.
Non credo tu sappia solo questo.
Ad esempio, se $f$ e $g$ sono differenziabili, come sono $f+-g$, $f*g$, etc…?
E com’è la funzione composta da funzioni differenziabili?
E come sono le funzioni elementari?
Ad esempio, se $f$ e $g$ sono differenziabili, come sono $f+-g$, $f*g$, etc…?
E com’è la funzione composta da funzioni differenziabili?
E come sono le funzioni elementari?
"gugo82":
Non credo tu sappia solo questo.
Ad esempio, se $f$ e $g$ sono differenziabili, come sono $f+-g$, $f*g$, etc…?
E com’è la funzione composta da funzioni differenziabili?
E come sono le funzioni elementari?
Seriamente non abbiamo ancora trattato a "lezione" questo argomento.
Cosa dovrei conoscere per poter affermare che è continua (?) e differenziabile negli altri punti senza calcolare nulla?
Ragiona rifacendoti al caso di una sola variabile.
Ad esempio, la funzione $f(x) = \{ ((e^x - 1)/x , ", se " x >= 0), (x , ", se " x < 0):}$ dov'è differenziabile?
Come fai a dirlo?
Ad esempio, la funzione $f(x) = \{ ((e^x - 1)/x , ", se " x >= 0), (x , ", se " x < 0):}$ dov'è differenziabile?
Come fai a dirlo?
"gugo82":
Ragiona rifacendoti al caso di una sola variabile.
Ad esempio, la funzione $f(x) = \{ ((e^x - 1)/x , ", se " x >= 0), (x , ", se " x < 0):}$ dov'è differenziabile?
Come fai a dirlo?
Questa funzione è continua e derivabile ovunque tranne $0$ perché sia $x$, sia $e^x-1$,sia la divisione rispettano la continuità e la derivabilità.
Bisogna dunque solo studiare la continuità e la derivabilità in $x=0$.
E perché è derivabile (e quindi differenziabile, visto che per funzioni di una sola variabile le due nozioni coincidono) ovunque in $RR - \{ 0\}$?
ho detto una cavolata perchè
$lim_(x->0^+) f(x)=1=f(0)$ mentre $lim_(x->0^-)(f(x)=0$ dunque $f$ non è continua in $x=0$ e la continuità implica la derivabilità.
Negli altri punti $f$ è continua derivabile perchè per $x<0$ $f'(x)=1$ mentre per $x>0$ $f'(x)=(e^x(x+1))/x^2$
$lim_(x->0^+) f(x)=1=f(0)$ mentre $lim_(x->0^-)(f(x)=0$ dunque $f$ non è continua in $x=0$ e la continuità implica la derivabilità.
Negli altri punti $f$ è continua derivabile perchè per $x<0$ $f'(x)=1$ mentre per $x>0$ $f'(x)=(e^x(x+1))/x^2$
"Aletzunny":
Negli altri punti $f$ è continua derivabile perché per $x<0$ $f'(x)=1$ mentre per $x>0$ $f'(x)=(e^x(x+1))/x^2$
E perché?
P.S.: Da questa risposta, che si può riassumere in "la funzione è derivabile perché so calcolarne la derivata", si capisce che sei ingegnere nell'anima. Dovresti provare a svincolarti da questo modo di ragionare, perché è estremamente limitativo.
Infatti, mentre la possibilità di calcolare è indice che tutto funzioni, viceversa non sempre non riuscire a calcolare qualcosa è indice che le cose non funzionino. Per capire quali sono le cose che funzionano e quali quelle che no, non basta saper fare i conti; serve ragionare sul perché quei conti si possono fare.
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