Esercizio funzione in 2 variabili con parametro
studiare nell' origine e al variare di $a>0$ la continuità, le derivate parziali e la differenziabilità della funzione:
$f(x,y)={((exp(|xy|^a)-1)/(sqrt(x^2+y^2)),if (x,y)!=0),(0,if (x,y)=0):}$
provo a riportare la mia risoluzione incompleta (ho ipotizzato che $exp(|xy|^a)=e^(|xy|^a)$) e dove ho qualche dubbio:
$text{Continuità}$ in $(x,y)->(0,0)$
il primo dubbio che ho è la validità dell'asintotico anche con 2 variabili. Supponendolo vero (non ho trovato quasi nulla a riguardo) ho reso:
$f(x,y)~(|xy|^a)/sqrt(x^2+y^2)$ da cui passando alle coordinate polari ottengo
$f(x,y)~((rho)^2*|cos(theta)sin(theta)|^a)/sqrt((rho)^2(cos(theta)^2+ sin(theta)^2))$ $=rho*|cos(theta)*sin(theta)|^a$ e dunque facendo il $lim_(rho->0^+) rho*|cos(theta)*sin(theta)|^a=0$
e dunque $f$ è continua in $(0,0)$ $AA a>0$. E' corretto?
$text{derivate parziali}$ :
$(d_f/d_x)(0,0)=lim_(t->0)[f(t,0)-f(0,0)]/t=(e^(t*0)-1)/(|t|*t)=0$ $AA a>0$
$(d_f/d_y)(0,0)=lim_(t->0)[f(0,t)-f(0,0)]/t=(e^(0*t)-1)/(|t|*t)=0$ $AA a>0$
E' corretto?
$text{differenziabilità}$
$lim((x,y)->(0,0))(e^(|xy|^a)-1)/(sqrt(x^2+y^2))*(1/sqrt(x^2+y^2))$ $=(e^(|xy|^a)-1)/(x^2+y^2)$
ora però non riesco a capire come terminare questo limite.
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie
$f(x,y)={((exp(|xy|^a)-1)/(sqrt(x^2+y^2)),if (x,y)!=0),(0,if (x,y)=0):}$
provo a riportare la mia risoluzione incompleta (ho ipotizzato che $exp(|xy|^a)=e^(|xy|^a)$) e dove ho qualche dubbio:
$text{Continuità}$ in $(x,y)->(0,0)$
il primo dubbio che ho è la validità dell'asintotico anche con 2 variabili. Supponendolo vero (non ho trovato quasi nulla a riguardo) ho reso:
$f(x,y)~(|xy|^a)/sqrt(x^2+y^2)$ da cui passando alle coordinate polari ottengo
$f(x,y)~((rho)^2*|cos(theta)sin(theta)|^a)/sqrt((rho)^2(cos(theta)^2+ sin(theta)^2))$ $=rho*|cos(theta)*sin(theta)|^a$ e dunque facendo il $lim_(rho->0^+) rho*|cos(theta)*sin(theta)|^a=0$
e dunque $f$ è continua in $(0,0)$ $AA a>0$. E' corretto?
$text{derivate parziali}$ :
$(d_f/d_x)(0,0)=lim_(t->0)[f(t,0)-f(0,0)]/t=(e^(t*0)-1)/(|t|*t)=0$ $AA a>0$
$(d_f/d_y)(0,0)=lim_(t->0)[f(0,t)-f(0,0)]/t=(e^(0*t)-1)/(|t|*t)=0$ $AA a>0$
E' corretto?
$text{differenziabilità}$
$lim((x,y)->(0,0))(e^(|xy|^a)-1)/(sqrt(x^2+y^2))*(1/sqrt(x^2+y^2))$ $=(e^(|xy|^a)-1)/(x^2+y^2)$
ora però non riesco a capire come terminare questo limite.
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie
Risposte
"gugo82":
[quote="Aletzunny"]Negli altri punti $f$ è continua derivabile perché per $x<0$ $f'(x)=1$ mentre per $x>0$ $f'(x)=(e^x(x+1))/x^2$
E perché?[/quote]
quindi andrebbe calcolato il rapporto incrementale in ogni punto per poter affermare rigorosamente che è derivabile ovunque?
"Aletzunny":
[quote="gugo82"][quote="Aletzunny"]Negli altri punti $f$ è continua derivabile perché per $x<0$ $f'(x)=1$ mentre per $x>0$ $f'(x)=(e^x(x+1))/x^2$
E perché?[/quote]
quindi andrebbe calcolato il rapporto incrementale in ogni punto per poter affermare rigorosamente che è derivabile ovunque?[/quote]
No.
Perché quella funzione è derivabile per $x!=0$?
Perché $cos (x^2) + sqrt(2+x^2)$ è derivabile in $RR$?
non ci sono! se non con il rapporto incrementale e con il calcolo diretto non so come si possa dire che $f$ è derivabile su tutto $RR$.
di certo è una mia mancanza ma non ho idea, anche controllando sul manuale.
di certo è una mia mancanza ma non ho idea, anche controllando sul manuale.
Come detto altre volte, non si tratta di "controllare sul manuale", ma di riflettere su quello che hai letto... Insomma, metti insieme i pezzi (perché, cavolo, sei un ingegnere! Questo è il tuo mestiere...).
innanzitutto non vedo cosa hanno di male gli ingegneri, però non fa nulla.
Ho sempre pensato che la derivabilità su $RR$ dipendesse dal "valore".
l'unica cosa che mi viene in mente è il fatto che $f'(x)$ ha un suo dominio come $f$ e quindi ad esempio la derivabilità su $RR$ è influenzata dall'esistenza del dominio di $f'(x)$
Ho sempre pensato che la derivabilità su $RR$ dipendesse dal "valore".
l'unica cosa che mi viene in mente è il fatto che $f'(x)$ ha un suo dominio come $f$ e quindi ad esempio la derivabilità su $RR$ è influenzata dall'esistenza del dominio di $f'(x)$
"Aletzunny":
innanzitutto non vedo cosa hanno di male gli ingegneri, però non fa nulla.
Dove ho scritto che "hanno qualcosa di male"?
Mostramelo, per favore.
"Aletzunny":
Ho sempre pensato che la derivabilità su $RR$ dipendesse dal "valore".
l'unica cosa che mi viene in mente è il fatto che $f'(x)$ ha un suo dominio come $f$ e quindi ad esempio la derivabilità su $RR$ è influenzata dall'esistenza del dominio di $f'(x)$
No, non c'entra nulla.
Come fai a parlare di dominio di una derivata se non sai dire se una funzione è derivabile?
Perché posso dire che $sin sqrt{e^x + log^2 x}$ è derivabile in $]0, + oo[$ senza calcolare la derivata?
"gugo82":
[quote="Aletzunny"]innanzitutto non vedo cosa hanno di male gli ingegneri, però non fa nulla.
Dove ho scritto che "hanno qualcosa di male"?
Mostramelo, per favore.
"Aletzunny":
Ho sempre pensato che la derivabilità su $RR$ dipendesse dal "valore".
l'unica cosa che mi viene in mente è il fatto che $f'(x)$ ha un suo dominio come $f$ e quindi ad esempio la derivabilità su $RR$ è influenzata dall'esistenza del dominio di $f'(x)$
No, non c'entra nulla.
Come fai a parlare di dominio di una derivata se non sai dire se una funzione è derivabile?
Perché posso dire che $sin sqrt{e^x + log^2 x}$ è derivabile in $]0, + oo[$ senza calcolare la derivata?[/quote]
Ma no...qui c'è stata un'incomprensione linguistica ahah..."hanno di male" si intende cosa c'entrano nel discorso delle derivate loro?
Le derivate le so calcolare e anche il loro dominio...(almeno spero!).
E in effetti quello che ho detto non ha senso rispetto alle derivabilità su tutto $RR$ ...
Tuttavia non riesco a connettere il tassello che mi manca... forse anche perché anche al liceo e ad analisi 1 spesso si calcolano solamente in determinati punti.
Solo nei teoremi ho visto l'ipotesi "derivabile su tutto $RR$"
Scusa, Ale, mi sai spiegare in due parole il senso del teorema sulla derivabilità della somma di funzioni derivabili?
E di quello sulla derivabilità del prodotto?
E qual è quello del teorema sulla derivazione della funzione composta?
E di quello sulla derivabilità del prodotto?
E qual è quello del teorema sulla derivazione della funzione composta?
"gugo82":
Scusa, Ale, mi sai spiegare in due parole il senso del teorema sulla derivabilità della somma di funzioni derivabili?
E di quello sulla derivabilità del prodotto?
E qual è quello del teorema sulla derivazione della funzione composta?
Date due funzioni $f$ e $g$ derivabili in un punto $x_0$ allora
la derivata di $f+g$ in $x_0$ equivale a derivare $f$ in $x_0$ e sommare la derivata di $g$ in $x_0$
Date due funzioni $f$ e $g$ derivabili in un punto $x_0$ allora
la derivata di $f*g$ in $x_0$ equivale a derivare $f$ in $x_0$ e moltiplicarla per $g$ in$ x_0$ e poi sommare la derivata di $g$ in $x_0$ moltiplicata per $f$ in $x_0$
Date due funzioni $f$ e $g$ derivabili rispettavamente in un punto $x_0$ e in $y_0=f(x_0)$
La derivata di $g(f(x_0))$ è uguale alla derivata di $g$ valutata in $f(x_0)$ moltiplicata per la derivata di $f$ valutata in $x_0$
E quindi che cosa vogliono dire questi teoremi?
Raccontati così sembrano solo delle regole di calcolo, ma sotto c'è qualcosa di più: cosa?
Raccontati così sembrano solo delle regole di calcolo, ma sotto c'è qualcosa di più: cosa?
sono domande "strane" a cui davvero non mi ero mai posto la questione.
sotto questi teoremi direi che c'è il fatto che l'operatore derivate è lineare e dunque rispetta le operazioni.Altro non mi viene in mente pur avendoci ragionato abbastanza.
sotto questi teoremi direi che c'è il fatto che l'operatore derivate è lineare e dunque rispetta le operazioni.Altro non mi viene in mente pur avendoci ragionato abbastanza.
"Aletzunny":
sono domande "strane" a cui davvero non mi ero mai posto la questione.
Non sono domande "strane", sono domande di senso.
In realtà queste domande te le sei già poste e ci hai già trovato una risposta... Il problema è che hai risposto nel solo modo in cui ti è stato possibile, cioè quello evidenziato qualche post fa: quei teoremi sono solo regole di calcolo (col sottinteso: tanto la Matematica è solo una caterva di tecniche di calcolo[nota]Sottinteso che, a te come a molti altri, deriva da un approccio infelice alla materia avuto durante le scuole.[/nota]).
Tuttavia, il senso di quei teoremi è un altro.
Non volendo arrivare fino a questo punto:
"Aletzunny":
sotto questi teoremi direi che c'è il fatto che l'operatore derivate è lineare e dunque rispetta le operazioni. Altro non mi viene in mente pur avendoci ragionato abbastanza.
che è già troppo astratto[nota]Parli di operatore di derivazione, ma se ti chiedessi di definire bene di cosa si tratta probabilmente ti troveresti in difficoltà.[/nota], mi fermerei sull'enunciato più semplice, cioè quello del:
Teorema di Derivabilità della Somma:
Siano $I sube RR$ un intervallo aperto ed $f,g:I -> RR$.
Se $f$ e $g$ sono derivabili in $x_0 in I$, allora anche la funzione $f+g$ è derivabile in $x_0$ e risulta:
$[f+g]^\prime (x_0) = f^\prime (x_0) + g^\prime (x_0)$.
Dunque, se $f$ e $g$ sono derivabili in tutto $I$, allora anche $f+g$ è derivabile in tutto $I$ e risulta:
$[f+g]^\prime (x) = f^\prime (x) + g^\prime (x)$ per ogni $x \in I$.
La parte importante di questo enunciato non è, come può sembrare, la regola di calcolo della derivata (cioè $[f+g]^\prime (x) = f^\prime (x) + g^\prime (x)$), ma le affermazioni:
Se $f$ e $g$ sono derivabili in $x_0 in I$, allora anche la funzione $f+g$ è derivabile in $x_0$ [...]
se $f$ e $g$ sono derivabili in tutto $I$, allora anche $f+g$ è derivabile in tutto $I$ [...]
che stabiliscono un nesso tra la derivabilità degli addendi e la derivabilità della loro somma (asserendo che la derivabilità dei primi è condizione sufficiente alla derivabilità della seconda[nota]La condizione non è affatto necessaria, però... Sai trovare un controesempio?[/nota]).
Se ci fai caso, ogni teorema sulle "operazioni con le derivate" (nome orrendo, ma rende l'idea del tipo di teoremi cui mi riferisco) fa il gioco di cui sopra: stabilisce condizioni sufficienti per la derivabilità di funzioni che si ottengono facendo le usuali operazioni (somma, differenza, prodotto, rapporto, composizione) tra due o più funzioni derivabili.
Questo, unito alle note proprietà di derivabilità delle funzioni elementari di base (potenze, esponenziali, logaritmi, trigonometriche, trigonometriche inverse, etc...), ti fornisce un criterio per stabilire a priori, cioè senza svolgere il calcolo, che:
Ogni funzione elementare definita in un intervallo è derivabile nei punti interni di tale intervallo.
Infatti, una funzione elementare è, per definizione, o una funzione elementare di base, oppure una funzione che si ottiene da funzioni elementari di base mediante un numero finito di somme, differenze, prodotti, rapporti o composizioni.
Quindi, ad esempio, la funzione $ sin sqrt{e^x + log^2 x} $, che ha per dominio l'intervallo $]0,+oo[$, è certamente derivabile in $]0,+oo[$ perché è una funzione elementare (i.e., ottenuta mediante un numero finito di somme, differenze, prodotti, rapporti o composizioni di funzioni elementari di base)... Lo stesso dicasi per tutte le altre funzioni proposte da me in questo thread.
Dopo questo lungo OT, torniamo IT.
Quali legami ha quanto finora detto con le funzioni di due variabili?
Perché la tua funzione di due variabili è differenziabile nei punti "non problematici"?
messaggio davvero interessante e difficile da trovare...cioè vede le derivate in un modo "diverso" e staccato dal solo calcolo.
curiosità mia.Insegna in uni?
detto questo la funzione data è un funzione elementare che presenta somme, prodotti ed elevamenti a potenza e dunque penso valga un ragionamento simile a quello fatto nel post sopra.
curiosità mia.Insegna in uni?
detto questo la funzione data è un funzione elementare che presenta somme, prodotti ed elevamenti a potenza e dunque penso valga un ragionamento simile a quello fatto nel post sopra.
"Aletzunny":
messaggio davvero interessante e difficile da trovare...
Grazie.
"Aletzunny":
cioè vede le derivate in un modo "diverso" e staccato dal solo calcolo.
Come dovrebbe essere: infatti, qui in Italia studiamo Analisi Matematica, non Calculus.
"Aletzunny":
curiosità mia: insegni in uni?
Ho insegnato Analisi I agli ingegneri per quattro anni, ho tenuto esercitazioni di Metodi e di Analisi I e II per cinque anni... Ora insegno Matematica al liceo scientifico (biennio).
"Aletzunny":
detto questo la funzione data è un funzione elementare che presenta somme, prodotti ed elevamenti a potenza e dunque penso valga un ragionamento simile a quello fatto nel post sopra.
E già...
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo