Esercizio funzione implicita
Ciao! Questo esercizio mi sta facendo nascere alcuni dubbi
"a)Dimostrare che esiste un'unica funzione $f:RR to RR$, di classe $C^infty$ tale che $f(x)+x^2*e^(f(x))=x^2+e^(x^4) AA x in RR$
b)Calcolare $lim_(x to 0^(+))((f(x)-cos(x))/log(1+x^2))$
c)Determinare la parte principale di $f(x)$ per $x to +infty$
Allora io ho iniziato a ragionare cosi; volevo applicare il teorema delle funzioni implicite a: $y+x^2*e^(y)-x^2-e^(x^4)=0$ con $phi(x,y)=y+x^2*e^(y)-x^2-e^(x^4)$ e esplicitare la variabile $y$ come $y=f(x)$. Posso almeno in un in intorno dell'origine perchè la derivata parziale in $(0,0)$ rispetto a y di $phi(x,y)$ è diversa da zero. Io vorrei dimostrare però che "posso globalmente". Allora ho osservato che ,per ogni x fisso, la funzione $y to phi(x,y)$ è strettamente monotona e passa da $-infty$ a $+infty$.
Fin qui secondo voi? Può andare? Poi pensavo all'unicità...il teorema delle funzioni implicite non penso me lo possa garantire.
Per il secondo punto invece ho scritto $y=f(x)=a+bx+cx^2+o(x^2)$ e sostituendo nell'espressione sopra (fermandomi ai termini di grado 2) ottengo: $a+bx+cx^2+x^2(1+a+a^2/2+a^3/(3!)+...)=x^2+1$, dove quei termini nella parentesi dovrebbero risultare dallo sviluppo di $e^(f(x))=1+f(x)+f(x)/2!+...$
Quindi ottengo $a+bx+cx^2+e^a*x^2=x^2+1$ da cui $a=1,b=0,c=1-e$ e sviluppando tutto quello che compare nel limite fino all'ordine 2 dovrei ottenere che il limite esiste e fa $3/2-e$
"a)Dimostrare che esiste un'unica funzione $f:RR to RR$, di classe $C^infty$ tale che $f(x)+x^2*e^(f(x))=x^2+e^(x^4) AA x in RR$
b)Calcolare $lim_(x to 0^(+))((f(x)-cos(x))/log(1+x^2))$
c)Determinare la parte principale di $f(x)$ per $x to +infty$
Allora io ho iniziato a ragionare cosi; volevo applicare il teorema delle funzioni implicite a: $y+x^2*e^(y)-x^2-e^(x^4)=0$ con $phi(x,y)=y+x^2*e^(y)-x^2-e^(x^4)$ e esplicitare la variabile $y$ come $y=f(x)$. Posso almeno in un in intorno dell'origine perchè la derivata parziale in $(0,0)$ rispetto a y di $phi(x,y)$ è diversa da zero. Io vorrei dimostrare però che "posso globalmente". Allora ho osservato che ,per ogni x fisso, la funzione $y to phi(x,y)$ è strettamente monotona e passa da $-infty$ a $+infty$.
Fin qui secondo voi? Può andare? Poi pensavo all'unicità...il teorema delle funzioni implicite non penso me lo possa garantire.
Per il secondo punto invece ho scritto $y=f(x)=a+bx+cx^2+o(x^2)$ e sostituendo nell'espressione sopra (fermandomi ai termini di grado 2) ottengo: $a+bx+cx^2+x^2(1+a+a^2/2+a^3/(3!)+...)=x^2+1$, dove quei termini nella parentesi dovrebbero risultare dallo sviluppo di $e^(f(x))=1+f(x)+f(x)/2!+...$
Quindi ottengo $a+bx+cx^2+e^a*x^2=x^2+1$ da cui $a=1,b=0,c=1-e$ e sviluppando tutto quello che compare nel limite fino all'ordine 2 dovrei ottenere che il limite esiste e fa $3/2-e$
Risposte
"nick_10":
[...] Poi pensavo all'unicità...il teorema delle funzioni implicite non penso me lo possa garantire. [...]
Il teorema della funzione implicita è un risultato locale; in dimensione \(2\) hai anche unicità. Secondo me devi "dimostrare" due cose: (i) la tua equazione definisce implicitamente una funzione di classe \(C^1\) in un intorno di ogni \(x \in \mathbb{R}\) (banale, la derivata parziale prima rispetto ad \(y\) di \(\phi\) è sempre strettamente positiva); (ii) "unicità globale"/buona definizione: se \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\) con \( x_1 \ne x_2 \) sono tali che \(A_1 \cap A_2 \ne \varnothing \), ove \(A_1 \) e \( A_2 \) sono gli aperti per \(x_1\) e \(x_2\) dati dal teorema della funzione implicita, allora le due funzioni implicite \(f_1 \) e \(f_2\) sono tali che \( f_1 (x) = f_2 (x) \) per ogni \(x \in A_1 \cap A_2 \) (banale, lo hai già fatto notare tu). Ne segue l'unicità globale.
Ok grazie! Il limite invece, ti sembra giusto il ragionamento?
Poi non saprei come fare l'ultimo punto...sto andando all'infinito quindi Taylor non mi è di aiuto
Poi non saprei come fare l'ultimo punto...sto andando all'infinito quindi Taylor non mi è di aiuto
Ah, mi sono dimenticato di farti notare che l'esercizio richiede di mostrare che la funzione implicita è di classe \( C^\infty\). Wiki eng dice che questo è gratis da una generalizzazione del teorema della funzione implicita "standard".
Mi sembra ragionevole quello che hai scritto. Nella tua notazione, \(f(0)=a\), \(f'(0)=b\) e \(f''(0)=c\).
Per il terzo punto ho fatto un ragionamento un po' euristico, ti butto lì un'idea. Direttamente dall'equazione abbiamo che \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{e^{x^4}} + \frac{x^2 e^{f(x)}}{e^{x^4}} =1; \]chiaramente non è possibile che \( \lim f(x)/ e^{x^4} = k > 0 \) (il limite può non esistere? lascio i dettagli a te, tipo mostrare che \( \lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty\)). Dopo qualche conto si vede che \[ f(x) \sim_{+ \infty} \ln(1/x^2) + x^4. \]
"nick_10":
[...] Per il secondo punto invece ho scritto $y=f(x)=a+bx+cx^2+o(x^2)$ e sostituendo nell'espressione sopra (fermandomi ai termini di grado 2) ottengo: $a+bx+cx^2+x^2(1+a+a^2/2+a^3/(3!)+...)=x^2+1$, dove quei termini nella parentesi dovrebbero risultare dallo sviluppo di $e^(f(x))=1+f(x)+f(x)/2!+...$
Quindi ottengo $a+bx+cx^2+e^a*x^2=x^2+1$ da cui $a=1,b=0,c=1-e$ e sviluppando tutto quello che compare nel limite fino all'ordine 2 dovrei ottenere che il limite esiste e fa $3/2-e$
Mi sembra ragionevole quello che hai scritto. Nella tua notazione, \(f(0)=a\), \(f'(0)=b\) e \(f''(0)=c\).
Per il terzo punto ho fatto un ragionamento un po' euristico, ti butto lì un'idea. Direttamente dall'equazione abbiamo che \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{e^{x^4}} + \frac{x^2 e^{f(x)}}{e^{x^4}} =1; \]chiaramente non è possibile che \( \lim f(x)/ e^{x^4} = k > 0 \) (il limite può non esistere? lascio i dettagli a te, tipo mostrare che \( \lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty\)). Dopo qualche conto si vede che \[ f(x) \sim_{+ \infty} \ln(1/x^2) + x^4. \]
Sì; il fatto sulla regolarità $C^infty$ avevo risolto grazie
Mentre per l'ultimo punto avevo pensato a una cosa del genere; ovviamente è un ragionamento super-intuitivo. Ragionando all'infinito quell'espressione è circa $x^2e^(f(x))=e^(x^4)$ $e^(f(x))=e^(x^4)/x^2$ da cui
$f(x)=log(e^(x^4))-log(1/x^2)=x^4-log(1/x^2)$
Per rendere il discorso formale, volevo quindi calcolare $lim_(x to +infty) f(x)/(x^4-log(1/x^2))$.
Ora non so se da qui si possa far qualcosa(magari De L'Hopital grazie alla regolarità di f, ma dovrei saper lavorare sulle derivate di $f(x)$
)
Mentre per l'ultimo punto avevo pensato a una cosa del genere; ovviamente è un ragionamento super-intuitivo. Ragionando all'infinito quell'espressione è circa $x^2e^(f(x))=e^(x^4)$ $e^(f(x))=e^(x^4)/x^2$ da cui
$f(x)=log(e^(x^4))-log(1/x^2)=x^4-log(1/x^2)$
Per rendere il discorso formale, volevo quindi calcolare $lim_(x to +infty) f(x)/(x^4-log(1/x^2))$.
Ora non so se da qui si possa far qualcosa(magari De L'Hopital grazie alla regolarità di f, ma dovrei saper lavorare sulle derivate di $f(x)$
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