Esercizio funzione due variabili
Buongiorno, recentemente ho svolto questo esercizio ma non sono sicuro di come l'ho risolto. Per di più il punto c non mi è chiaro. L'esercizio è il seguente:
$ f(x;y)={ ( (y^n*e^x)/(x^2+y^2) se (x;y)!=(0;0) ), (0 se (x;y) = (0;0)):} $
a) Stabilire per quali valori di n, se ve ne sono, f è continua nell'origine
Passando in coordinate polari ottengo
$ lim_(rho -> 0) rho^(n-2)*(sinvartheta )^n*e^(rho*cosvartheta ) $
Questo limite fa 0 se e solo se n>2. Quindi f è continua nell'origine se e solo se n $ nin (2;+oo) $
b)Stabilire per quali valori di n, se ve ne sono, f è differenziabile nell'origine.
$ (delta f)/(delta x)=((y^n*e^x)*(x^2+y^2)-(y^n*e^x)*2x)/(x^2+y^2)^2 $
$ (delta f)/(delta y)=((ny^(n-1)*e^x)*(x^2+y^2)-(y^n*e^x)*2y)/(x^2+y^2)^2 $
$ (delta f)/(delta x)(0;0) = lim_(h->0) (f(0+h;0) -f(0;0))/h = 0 $ per ogni n
$ (delta f)/(delta y)(0;0) = lim_(h->0) (f(0+h;0) -f(0;0))/h = lim_(h->0) h^(n-3) $ è uguale a 0 se e solo se n>3
Perchè sia differenziabile in un punto deve essere soddisfatta questa condizione:
$ lim_((x;y) ->(a;b)) (f(x;y)-f(a;b)-(deltaf)/(deltax)(a;b)*(x-a)-(deltaf)/(deltay)(a;b)*(y-b))/((x-a)^2+(y-b)^2)^(1/2)=0 $
Passando direttamente alle coordinate polari si ottiene
$ lim_(rho -> 0) rho^(n-3)*(sinvartheta )^n*e^(rho*cosvartheta ) $
Tale limite è uguale a 0 se e solo se n>3. Quindi f è differenziabile nell'origine se e solo se $ nin (3;+oo) $
c) Si fissi n=3 e si stabilisca in quali direzioni f ha derivata direzionale massima e in quali direzioni ha derivata direzionale minima.
Io so trovare la derivata direzionale in un punto rispetto ad un vettore v. Ma così non so proprio come affrontare l'esercizio.
$ f(x;y)={ ( (y^n*e^x)/(x^2+y^2) se (x;y)!=(0;0) ), (0 se (x;y) = (0;0)):} $
a) Stabilire per quali valori di n, se ve ne sono, f è continua nell'origine
Passando in coordinate polari ottengo
$ lim_(rho -> 0) rho^(n-2)*(sinvartheta )^n*e^(rho*cosvartheta ) $
Questo limite fa 0 se e solo se n>2. Quindi f è continua nell'origine se e solo se n $ nin (2;+oo) $
b)Stabilire per quali valori di n, se ve ne sono, f è differenziabile nell'origine.
$ (delta f)/(delta x)=((y^n*e^x)*(x^2+y^2)-(y^n*e^x)*2x)/(x^2+y^2)^2 $
$ (delta f)/(delta y)=((ny^(n-1)*e^x)*(x^2+y^2)-(y^n*e^x)*2y)/(x^2+y^2)^2 $
$ (delta f)/(delta x)(0;0) = lim_(h->0) (f(0+h;0) -f(0;0))/h = 0 $ per ogni n
$ (delta f)/(delta y)(0;0) = lim_(h->0) (f(0+h;0) -f(0;0))/h = lim_(h->0) h^(n-3) $ è uguale a 0 se e solo se n>3
Perchè sia differenziabile in un punto deve essere soddisfatta questa condizione:
$ lim_((x;y) ->(a;b)) (f(x;y)-f(a;b)-(deltaf)/(deltax)(a;b)*(x-a)-(deltaf)/(deltay)(a;b)*(y-b))/((x-a)^2+(y-b)^2)^(1/2)=0 $
Passando direttamente alle coordinate polari si ottiene
$ lim_(rho -> 0) rho^(n-3)*(sinvartheta )^n*e^(rho*cosvartheta ) $
Tale limite è uguale a 0 se e solo se n>3. Quindi f è differenziabile nell'origine se e solo se $ nin (3;+oo) $
c) Si fissi n=3 e si stabilisca in quali direzioni f ha derivata direzionale massima e in quali direzioni ha derivata direzionale minima.
Io so trovare la derivata direzionale in un punto rispetto ad un vettore v. Ma così non so proprio come affrontare l'esercizio.
Risposte
c) Si fissi n=3 e si stabilisca in quali direzioni f ha derivata direzionale massima e in quali direzioni ha derivata direzionale minima.
Sostanzialmente la derivata direzionale massima è nella direzione del gradiente.
Quella minima è l'opposto del gradiente...
Grazie per la risposta. Ma il mio problema riguarda proprio l'impostazione dell'esercizio. So che la derivata direzionale è massima quando versore e vettore gradiente hanno verso parallelo e concorde e minima quando il verso è parallelo e discorde. Ma questo come si traduce nell'esercizio? Comunque gli altri punti dell'esercizio sono corretti? Grazie!
Qualcuno sa dirmi come impostare il punto c? grazie
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