Esercizio forme differenziali
Tratto da un esercizio svolto a lezione dall'esercitatrice di Analisi:
Perché questa cosa dimostrerebbe che $\omega$ non è esatta? Non capisco...mi sembra sia come dire che "$|x|$ non ammette primitive perché non è derivabile in un punto"
Si consideri la f.d.l.
\[\omega(x,y)=\underbrace{\dfrac{2x}{x^2+y^2}}_{=:A(x,y)}\text{d}x\, \underbrace{-\dfrac{1}{x^2+|y|}}_{=:B(x,y)}\text{d}y\qquad D_\omega=\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}\]
Si ha che $\omega$ non è esatta nel proprio dominio, dato che $\omega$ è continua in $D_\omega$ ma non di classe $\mathcal{C}^1$: infatti $A_y$ e $B_y$ non esistono in ogni punto $(x,0)\in D_\omega$.
Perché questa cosa dimostrerebbe che $\omega$ non è esatta? Non capisco...mi sembra sia come dire che "$|x|$ non ammette primitive perché non è derivabile in un punto"
Risposte
Magari mi sbaglio, ma è condizione necessaria affinché la forma sia esatta che sia chiusa. Quindi se non è chiusa di sicuro non è esatta.
Ciao Emar! 
Certo, ma questo è vero solo se la forma è $\mathcal{C^1}$. In breve, se $\omega="d"f$ è esatta ed è di classe $\mathcal{C^1}$, allora $f$ è di classe $\mathcal{C^2}$ e quindi vale il Teorema di Schwarz, che in sostanza vuol dire che $\omega$ è chiusa.
Qui $\omega$ è solo continua, quindi questa cosa non vale (un'eventuale primitiva $f$ sarebbe solo di classe $\mathcal{C^1}$, quindi niente Schwarz).
"Emar":
Magari mi sbaglio, ma è condizione necessaria affinché la forma sia esatta che sia chiusa. Quindi se non è chiusa di sicuro non è esatta.
Certo, ma questo è vero solo se la forma è $\mathcal{C^1}$. In breve, se $\omega="d"f$ è esatta ed è di classe $\mathcal{C^1}$, allora $f$ è di classe $\mathcal{C^2}$ e quindi vale il Teorema di Schwarz, che in sostanza vuol dire che $\omega$ è chiusa.
Qui $\omega$ è solo continua, quindi questa cosa non vale (un'eventuale primitiva $f$ sarebbe solo di classe $\mathcal{C^1}$, quindi niente Schwarz).
@Plepp: Hai ragione tu.
Col tuo appoggio ci posso dormire su 
Grazie mille! 
Grazie mille!
"Plepp":
Qui $\omega$ è solo continua, quindi questa cosa non vale (un'eventuale primitiva $f$ sarebbe solo di classe $\mathcal{C^1}$, quindi niente Schwarz).
Ma in effetti sono d'accordo anch'io. Forma esatta vuol dire che ammette un primitiva, e il fatto che ammetta derivate è un altro discorso.
PS: Ho appena controllato il Pagani-Salsa e definiscono forme differenziali lineari solo quelle \(C^1\)[nota]Magari questo approccio deriva dal fatto che in geometria differenziale "smooth" si pone tutto \(C^\infty\) e non ci si pensa più
[/nota]. In effetti è molto restrittivo. Ho controllato sul Prodi ed invece vi è questa differenza."Plepp":
Col tuo appoggio ci posso dormire su
Hai ragione, quandi ottieni la certificazione di dissonance puoi dormire sonni tranquilli
Il fatto è che queste cose spesso servono in contesti geometrici, in cui ci si mette nella categoria smooth fin da subito e questi dettagli non si vedono. C'è gente che se ne preoccupa, comunque. Credo che in teoria geometrica della misura si studino varietà e forme differenziali non necessariamente lisce, e anzi possibilmente molto brutte. Gugo, Rigel e Luca Lussardi ne sanno qualcosa, credo. Io invece non ne so assolutamente niente
"dissonance":
Credo che in teoria geometrica della misura si studino varietà e forme differenziali non necessariamente lisce, e anzi possibilmente molto brutte. Gugo, Rigel e Luca Lussardi ne sanno qualcosa, credo. Io invece non ne so assolutamente niente
Vabé, il livello qui è un po' più basso, si tratta di un corso di Analisi II (IV, qui a Bari): posso ritenerti una fonte autorevole, me ne hai sempre dato motivo
In tutta sincerità, comunque, avevo pochi dubbi a riguardo, ma quando l'origine di questi dubbi è un insegnante cominci a farti qualche pippa in più del necessario.Grazie ancora compari!
a questo punto penso che si potrebbe ragionare così : se per assurdo $omega$ fosse esatta,dovrebbe esserlo anche la sua restrizione al 1° quadrante(semiassi esclusi)
ma non lo è perchè in tale insieme $A(x,y)=(2x)/(x^2+y^2)$ e $B(x,y)=1/(x^2+y)$ sono di classe $C^1$ e $A_y ne B_x$
ma non lo è perchè in tale insieme $A(x,y)=(2x)/(x^2+y^2)$ e $B(x,y)=1/(x^2+y)$ sono di classe $C^1$ e $A_y ne B_x$
@stormy: sono d'accordo, grazie!
Anzi, devo "scagionare" pure l'esercitatrice di Analisi: nella pagina seguente, sugli quaderno degli appunti, stavano scritte considerazioni simili alle tue (si osservava che nel semipiano $\{y>0\}$ la forma non è chiusa)
Anzi, devo "scagionare" pure l'esercitatrice di Analisi: nella pagina seguente, sugli quaderno degli appunti, stavano scritte considerazioni simili alle tue (si osservava che nel semipiano $\{y>0\}$ la forma non è chiusa)
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