Esercizio forma differenziale esatta.

[dasvidanke]

Salve a tutti! Avrei bisogno che un anima pia mi dia aiuto nella comprensione di un esercizio.
La traccia dice:"Dire se la forma differenziale lineare è esatta ed eventualmente calcolarne le primitive."
Fino a capire se la forma differenziale sia esatta o meno non ho avuto problemi (non è esatta in quanto l'insieme non è semplicemente connesso, correggetemi se ho sbagliato!), ma non capisco in che modo devo calcolare le primitive se non mi da una curva su cui integrare. Forse utilizzando Green-Gauss integrando sul dominio? Non riesco a capire.
$[log (x^2+y^2)+(2x^2)/(x^2+y^2)]dx+(2xy)/(x^2+y^2)dy$
Da cui le derivate parziali:
$(partial A)/(partial y) =(2y(x^2-y^2))/(x^2+y^2)^2=(partialB)/(partial x)$
E visto che c'è un "buco" in $x=0$ e $y=0$ allora non è esatta, ma come le calcolo le primitive?
Un grazie anticipato a chi risponderà!

[Bokonon]

"dasvidanke":Salve a tutti! Avrei bisogno che un anima pia mi dia aiuto nella comprensione di un esercizio.
La traccia dice:"Dire se la forma differenziale lineare è esatta ed eventualmente calcolarne le primitive."
Fino a capire se la forma differenziale sia esatta o meno non ho avuto problemi (non è esatta in quanto l'insieme non è semplicemente connesso, correggetemi se ho sbagliato!), ma non capisco in che modo devo calcolare le primitive se non mi da una curva su cui integrare. Forse utilizzando Green-Gauss integrando sul dominio? Non riesco a capire.
$[log (x^2+y^2)+(2x^2)/(x^2+y^2)]dx+(2xy)/(x^2+y^2)dy$
Da cui le derivate parziali:
$(partial A)/(partial y) =(2y(x^2-y^2))/(x^2+y^2)^2=(partialB)/(partial x)$
E visto che c'è un "buco" in $x=0$ e $y=0$ allora non è esatta, ma come le calcolo le primitive?
Un grazie anticipato a chi risponderà!

Se faccio la derivata parziale rispetto a y di $[log (x^2+y^2)+(2x^2)/(x^2+y^2)]$ e la derivata parziale di $(2xy)/(x^2+y^2)$ rispetto a x, ottengo il medesimo risultato $ (2y^3-2x^2y)/((x^2+y^2)^2 $ quindi è una forma esatta, ovvero è il differenziale totale di una funzione, ovvero la derivata totale di quella funzione.
Quindi per calcolare la primitiva e trovare la funzione fai il processo contrario.

[gugo82]

No, ad entrambi.
Il problema è che non avete chiara la differenza tra condizione sufficiente e condizione necessaria, dunque applicate malamente il Teorema sull'esattezza delle forme chiuse in un aperto semplicemente connesso, il quale nel caso bidimensionale asserisce:

Siano $Omega subseteq RR^2$ un aperto ed $omega := a(x,y) " d"x + b(x,y) " d" y$ una forma differenziale definita e di classe $C^1$ in $Omega$.
Se $Omega$ è semplicemente connesso e se $omega$ è chiusa in $Omega$ (ossia, se risulta $a_y(x,y)=b_x(x,y)$ in $Omega$), allora $omega$ è esatta in $Omega$ (cioè, esiste una funzione $U:Omega -> RR$ di classe $C^1$ tale che $"d"U=omega$).

Dunque la proprietà geometrica del dominio (connessione semplice) e proprietà analitica dei coefficienti (uguaglianza delle derivate "in croce") insieme sono sufficienti all'esattezza della forma differenziale.

Tuttavia:

[list=1][*:mw8anljy] il teorema non si inverte ed, in particolare, si trovano esempi di forme esatte e chiuse in aperti non semplicemente connessi (questo è l'errore di dasvidanke, quando scrive che la forma non può essere esatta poiché il dominio non è semplicemente connesso);

[/*:m:mw8anljy]
[*:mw8anljy] il sussistere di una sola delle due proprietà (geometrica del dominio od analitica dei coefficienti) senza il contemporaneo verificarsi dell'altra non garantisce alcunché sull'esattezza (questo è l'errore commesso da Bokonon, che dice che la forma è esatta perché è chiusa).[/*:m:mw8anljy][/list:o:mw8anljy]

Esempi di situazioni del genere li trovate su ogni testo vagamente decente di Analisi II... E, se non li trovate, è un ottimo esercizio costruirveli da voi.

Analizzati gli errori grossolani che avete commesso, vediamo un po' cosa si può fare per porre rimedio e portare a casa il risultato.
Per quanto ci siamo detti, il teorema di cui sopra non è applicabile, poiché non ne sono soddisfatte le ipotesi (invero, la forma è chiusa ma il suo dominio non è semplicemente connesso); dunque, per studiare l'esattezza della forma si deve procedere altrimenti.
Nel caso in esame, o si cerca di calcolare esplicitamente una primitiva $U$ di $omega$ (che, se $U$ esiste, la $omega$ è esatta; altrimenti, non lo è) oppure si va a controllare cosa succede integrando $omega$ su curve chiuse che circondano il "buco" del dominio, i.e. il punto $(0,0)$ (che, se gli integrali vengono $=0$, la $omega$ è esatta; altrimenti, non lo è).

Metodo 1: calcolo della primitiva.

Per calcolare il potenziale osserviamo che, per definizione deve essere:
\[
\begin{split}
U_x(x,y) &= a(x,y) = \log (x^2+y^2) + \frac{2x^2}{x^2+y^2}\\
U_y(x,y) &= b(x,y) = \frac{2xy}{x^2+y^2}\; ;
\end{split}
\]
dalla seconda uguaglianza, integrando parzialmente rispetto ad $y$ otteniamo:
\[
U(x,y) = x\ \log (x^2 + y^2) + C(x)
\]
(in cui $C(x)$ è un'opportuna funzione di classe $C^1$ da determinare) ed imponendo la prima condizione troviamo:
\[
\log (x^2 + y^2) + \frac{2x^2}{x^2+y^2} + C^\prime (x) = \log (x^2+y^2) + \frac{2x^2}{x^2+y^2}\qquad \Leftrightarrow \qquad C^\prime (x) = 0\; ,
\]
da cui ricaviamo immediatamente $C(x) = c$ (costante); conseguentemente, le primitive di $omega$ sono le funzioni del tipo:
\[
U(x,y) = x\ \log (x^2+y^2) + c\; .
\]
Ne viene che $omega$ è esatta in $Omega =RR \setminus \{(0,0)\}$ poiché ne abbiamo determinato esplicitamente una primitiva.

Metodo 2: calcolo degli integrali curvilinei.

Scegliamo di integrare $omega$ su una curva semplice e "decente" $gamma$ che circondi il punto $(0,0)$; dato che nei coefficienti di $omega$ è presente la quantità $x^2+y^2$, sembra il caso di scegliere (per semplificare i calcoli) come $gamma$ una circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $1$.
Conseguentemente, usando la definizione di integrale curvilineo e la parametrizzazione usuale della circonferenza unitaria, troviamo:
\[
\begin{split}
\int_{+\gamma} \omega &=\int_0^{2\pi} \left[ \left(\log (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + \frac{2\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}\right)\ (-\sin \theta) + \frac{2\cos \theta \sin \theta}{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}\ \cos \theta\right]\ \text{d}\theta\\
&= \int_0^{2\pi} 0\ \text{d} \theta \\
&= 0\; ;
\end{split}
\]
dato che l'integrale $\int_{+\gamma} \omega = 0$, dato che ogni altre curva semplice, chiusa e "decente" $Gamma$ che circonda $(0,0)$ si può "deformare con un moto continuo in $Omega$" in modo da farla coincidere con $gamma$[nota]L'imprecisione di linguaggio è voluta, poiché non credo che sappiate ancora cosa significa dire che due curve sono omotope... Per rendere meno vaga l'idea della "deformabilità con un moto continuo in $Omega$", immaginatela così: $Gamma$ si può "deformare con un moto continuo in $Omega$" facendola coincidere con $gamma$ se e solo se la regione delimitata dalle due curve $Gamma$ e $gamma$ è tutta interna all'aperto $Omega$.[/nota] e visto che l'annullarsi dell'integrale curvilineo di una forma differenziale su una curva semplice, chiusa e "decente" è invariante per "deformazioni con moto continuo"[nota]Di questa cosa si può dare una dimostrazione molto artigianale, ma efficace; la trovate nel Marcellini & Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. 2 - parte seconda, es. 6.19.[/nota], possiamo dire che l'integrale di $omega$ è nullo per ogni possibile curva "decente" e chiusa contenuta nel dominio $Omega$ (sia che circondi $(0,0)$, sia che non lo circondi); pertanto $omega$ è esatta in base al Teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte[nota]Enunciato come segue:

Siano $Omega subseteq RR^2$ un aperto ed $omega =a(x,y)"d"x + b(x,y)"d"y$ una forma differenziale lineare di classe $C^1$ in $Omega$.
La $omega$ è esatta in $Omega$ se e solo se per ogni curva semplice, chiusa e "decente" $gamma subset Omega$ risulta $int_{+gamma} omega =0$.

[/nota].

[Bokonon]

"gugo82":No, ad entrambi.
Il problema è che non avete chiara la differenza tra condizione sufficiente e condizione necessaria, dunque applicate malamente il Teorema sull'esattezza delle forme chiuse in un aperto semplicemente connesso, il quale nel caso bidimensionale asserisce:

Siano $Omega subseteq RR^2$ un aperto ed $omega := a(x,y) " d"x + b(x,y) " d" y$ una forma differenziale definita e di classe $C^1$ in $Omega$.
Se $Omega$ è semplicemente connesso e se $omega$ è chiusa in $Omega$ (ossia, se risulta $a_y(x,y)=b_x(x,y)$ in $Omega$), allora $omega$ è esatta in $Omega$ (cioè, esiste una funzione $U:Omega -> RR$ di classe $C^1$ tale che $"d"U=omega$).

Wow, io avrei semplicemente applicato il metodo 1. L'idea di dover integrare al contorno non mi avrebbe mai sfiorato...perchè non conoscevo proprio il teorema! Si impara sempre qualcosa.
Grazie del post esemplare!

P.S. Per essere precisi, all'università non ho studiato le eq. differenziali a fondo (perchè non erano necessarie a statistica e quindi non erano nel programma di analisi 2) ma sicuramente da qualche parte quel teorema c'era nel libro...

[Bokonon]

"gugo82":
Esempi di situazioni del genere li trovate su ogni testo vagamente decente di Analisi II... E, se non li trovate, è un ottimo esercizio costruirveli da voi.

Ci stavo pensando e così ho giocato un po' mentalmente con le funzioni (quali tenere e quali escludere).
Però finora ho partorito solo un topolino $ f(x,y)=cos(sqrt(xy))+xy^2 $
Definita nel primo e terzo quadrante, zero incluso.
Potrebbe andare?