Esercizio Forma Differenziale e Integrale Curvilineo
Stavo provando a risolvere questo esercizio:
Studiare la forma differenziale
$\omega = e^(sqrt(y))/sqrt(x) dx + (sqrt(x) e^(sqrt(y)))/sqrt(y) dy$
e calcolare l'integrale curvilineo esteso al segmento di estremi $A = (1, 1)$ e $B = (2, 3)$ orientato da $A$ a $B$.
Per prima cosa trovo il dominio della funzione, quindi $x >= 0, y >= 0, \sqrt(x) != 0, \sqrt(y) != 0$. Posso dire poi che $x =/= 0, y =/= 0$ e quindi ho $D = {AA (x, y) in RR^2 : x > 0, y > 0}$
Ora studio la forma differenziale e vedo prima se essa è chiusa e quindi derivo rispetto ad $y$ $e^(sqrt(y))/sqrt(x)$ e rispesto ad $x$ $(sqrt(x) e^(sqrt(y)))/sqrt(y)$. Noto quindi che essa è chiusa. Sapendo che il dominio è semplicemente connesso sappiamo che per il teorema di Poincaré essa è anche esatta.
Ora devo calcolare l'integrale curvilineo esteso al segmento $AB$. Io da qui in poi so farlo solo meccanicamente e non ho ben capito come si dovrebbe procedere nei vari casi, quindi vi scrivo solo fino a dove so farlo.
A questo punto, dato che è un segmento, trovo la $x$ e la $y$ tramite un sistema
$\{(x = x_0 + t(x_1 - x_0) = x = 1 + t(2 - 1) = 1 + t),(y = y_0 + t(y_1 - y_0) = x = 1 + t(3 - 1) = 1 + 2t):}$
A questo punto faccio l'integrale curvilineo della forma differenziale, cioè:
$int_(\gamma) e^(sqrt(y))/sqrt(x) dx + (sqrt(x) e^(sqrt(y)))/sqrt(y) dy = int e^(sqrt(1 + 2t))/sqrt(1 + t)(1 + t) + (sqrt(1 + t) e^(sqrt(1 + 2t)))/sqrt(1 + 2t)(1 + 2t) dt$ però so che dovrebbe venirmi un numero, quindi dovrebbe essere un integrale definito, ma definito su quale intervallo? Il dominio $[0, +\infty]$?
Studiare la forma differenziale
$\omega = e^(sqrt(y))/sqrt(x) dx + (sqrt(x) e^(sqrt(y)))/sqrt(y) dy$
e calcolare l'integrale curvilineo esteso al segmento di estremi $A = (1, 1)$ e $B = (2, 3)$ orientato da $A$ a $B$.
Per prima cosa trovo il dominio della funzione, quindi $x >= 0, y >= 0, \sqrt(x) != 0, \sqrt(y) != 0$. Posso dire poi che $x =/= 0, y =/= 0$ e quindi ho $D = {AA (x, y) in RR^2 : x > 0, y > 0}$
Ora studio la forma differenziale e vedo prima se essa è chiusa e quindi derivo rispetto ad $y$ $e^(sqrt(y))/sqrt(x)$ e rispesto ad $x$ $(sqrt(x) e^(sqrt(y)))/sqrt(y)$. Noto quindi che essa è chiusa. Sapendo che il dominio è semplicemente connesso sappiamo che per il teorema di Poincaré essa è anche esatta.
Ora devo calcolare l'integrale curvilineo esteso al segmento $AB$. Io da qui in poi so farlo solo meccanicamente e non ho ben capito come si dovrebbe procedere nei vari casi, quindi vi scrivo solo fino a dove so farlo.
A questo punto, dato che è un segmento, trovo la $x$ e la $y$ tramite un sistema
$\{(x = x_0 + t(x_1 - x_0) = x = 1 + t(2 - 1) = 1 + t),(y = y_0 + t(y_1 - y_0) = x = 1 + t(3 - 1) = 1 + 2t):}$
A questo punto faccio l'integrale curvilineo della forma differenziale, cioè:
$int_(\gamma) e^(sqrt(y))/sqrt(x) dx + (sqrt(x) e^(sqrt(y)))/sqrt(y) dy = int e^(sqrt(1 + 2t))/sqrt(1 + t)(1 + t) + (sqrt(1 + t) e^(sqrt(1 + 2t)))/sqrt(1 + 2t)(1 + 2t) dt$ però so che dovrebbe venirmi un numero, quindi dovrebbe essere un integrale definito, ma definito su quale intervallo? Il dominio $[0, +\infty]$?
Risposte
Solo un piccolo dubbio: Come hai fatto a trovare il sostegno del segmento ${(x, y) in RR^2 : y = 2x - 1, 1 <= x <= 2}$?
Per il resto è tutto chiaro! Grazie mille!
Per il resto è tutto chiaro! Grazie mille!
Oh LOL! Hai ragione, scusami. XD
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