Esercizio Forma Differenziale
Dire se la forma di fferenziale:
w= $ (x+y)/(x^2+y^2)dx-(x-y)/(x^2+y^2)dy $
è esatta, e dire quanto vale il suo integrale sulla curva d'equazione (t, $ t^2 $ -1) per t tra -1 e 1.
Allora, prima di tutto mi determino dove è definita w.. ed è definita sugli (x,y) tali che $ x^2+y^2 != $ 0 e quindi ovunque tranne che per l'origine?.. se fosse giusto così, l'insieme non sarebbe semplicemente connesso (quindi non posso dire che w esatta se e solo se w chiusa) e quindi, devo prima verificare che la forma sia chiusa e poi vedere se esiste un potenziale..
Per il secondo punto non ci sono problemi, basta applicare il fatto che l'integrale è = U(P1) - U(P0) dove P1 è la curva valutata in 2 e P0 la curva valutata in -1..
w= $ (x+y)/(x^2+y^2)dx-(x-y)/(x^2+y^2)dy $
è esatta, e dire quanto vale il suo integrale sulla curva d'equazione (t, $ t^2 $ -1) per t tra -1 e 1.
Allora, prima di tutto mi determino dove è definita w.. ed è definita sugli (x,y) tali che $ x^2+y^2 != $ 0 e quindi ovunque tranne che per l'origine?.. se fosse giusto così, l'insieme non sarebbe semplicemente connesso (quindi non posso dire che w esatta se e solo se w chiusa) e quindi, devo prima verificare che la forma sia chiusa e poi vedere se esiste un potenziale..
Per il secondo punto non ci sono problemi, basta applicare il fatto che l'integrale è = U(P1) - U(P0) dove P1 è la curva valutata in 2 e P0 la curva valutata in -1..
Risposte
si, quella forma differenziale è definita ovunque tranne che nell'origine.
è corretto che tu non possa quindi affermare che è esatta solo se è chiusa, dato che $RR^2\{(0,0)}$ non è sempl. connesso.
come agire?
verifica che sia chiusa, se non lo fosse, avresti finito l'esercizio. quindi deve esserlo...
per un teorema magico ("magico" perchè non riesco ancora ad assimilarlo), se l'integrale lungo una curva chiusa che circonda l'origine ti risulta nulla ALLORA puoi affermare che la forma differenziale è esatta.
in forma più generale: se la forma differenziale non è definita su un certo punto, ma l'integrale lungo una curva chiusa attorno a quel punto è nullo, allora la forma differenziale è esatta.
ti consiglio di usare in questo caso la circonferenza unitaria centrata in $(0,0)$ come curva chiusa e di passare alle coordinate polari per l'integrazione.
è corretto che tu non possa quindi affermare che è esatta solo se è chiusa, dato che $RR^2\{(0,0)}$ non è sempl. connesso.
come agire?
verifica che sia chiusa, se non lo fosse, avresti finito l'esercizio. quindi deve esserlo...
per un teorema magico ("magico" perchè non riesco ancora ad assimilarlo), se l'integrale lungo una curva chiusa che circonda l'origine ti risulta nulla ALLORA puoi affermare che la forma differenziale è esatta.
in forma più generale: se la forma differenziale non è definita su un certo punto, ma l'integrale lungo una curva chiusa attorno a quel punto è nullo, allora la forma differenziale è esatta.
ti consiglio di usare in questo caso la circonferenza unitaria centrata in $(0,0)$ come curva chiusa e di passare alle coordinate polari per l'integrazione.
Ok, grazie mille!
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