Esercizio flusso Analisi II

[HeavenAProfit]

Salve a tutti ho questo esercizio:
Calcolare il flusso uscente attraverso la superficie , utilizzando il teorema della divergenza, con:
$v(x,y)=x/(1+xy)i+y/(1+xy)j$
Graficamente ho la superficie intersecata dalle rette $y=sqrt3x $, $ y=x $, $ xy=2 $, $ xy=1$.
Calcolo ,per la divergenza, la derivata secondo x di quello vicino i, e derivo secondo y quello vicino j, tale che mi viene $2/(1+xy)^2$, sommandole, è giusto?
Il flusso è uscente...il problema sorge nell'impostare l'integrale...qualcuno può spiegarmelo per piacere? E' urgente

[MasterCud]

si la divergenza che hai calcolato mi sembra corretta...ma per quanto riguarda il dominio non mi pare si tratti di sole rette ma anche di iperboli...inoltre credo manchi la condizione y maggiore o minore di zero utile a individuare il quadrante di interesse.

[HeavenAProfit]

Il quadrante è il primo. Ma come impostare l'integrale...?

[MasterCud]

allora se imposti il domino localmente normale rispetto a y, ti vengono fuori 2 integrali doppi, altrimenti impostando il dominio localmente normale rispetto a x ti vengono fuori addirittura 3 integrali doppi...e a mio avviso non vale la pena ne in un caso ne nell'altro....dal momento però che la frontiera è un insieme di curve regolari a tratti io utilizzerei le formule di Green Gauss nel piano...in questo caso dovrai calcolarti 4 integrali semplici e se sei bravo a scegliere la formula corretta i calcoli ti si semplificheranno...prima di tutto ovviamente nel caso voglia procedere in un caso o nell'altro ti devi determinare i 4 punti di intersezione.

[HeavenAProfit]

Purtroppo il teorema di Green non lo ha spiegato durante i corsi, e non saprei proprio come fare. Non è che magari potresti indicarmi i passaggi da svolgere? Sempre se non chiedo troppo, ma sono in una difficoltà pazzesca, sia nell'uno che nell'altro caso...il professore non è uno di quelli "bravi" ... :\

[MasterCud]

ti imposto il dominio localmente rispetto a x, anche perchè riguardando bene anche rispetto a y gli integrali da fare sono sempre 3.....risparmiami ti prego il calcolo delle intersezioni che spero tu abbia già determinato:
[jxg]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[/jxg]
mi sono segnato i punti che tu ovviamente sostituirai con le corrispettive intersezioni che ti sei calcolato:
$ { ( 1/x<=y<=root()(3)x ),( c_x<=x<=b_x ):} $ $ { ( x<=y<=root()(3)x ),( b_x<=x<=d_x ):} $ $ { ( x<=y<=2/x ),( d_x<=x<=a_x ):} $

[HeavenAProfit]

Sisi li ho già calcolati i punti. Ma nel caso volessi impostare gli integrali secondo il teorema di Green-Gauss, come dovrei fare ?

[MasterCud]

se non hai mai visto G.G ti rimando a testi di analisi per vederti la teoria, mi viene un pò in salita spiegarti tutto in un post...e poi potrei anche impostarti l'esercizio ma sarebbe contro producente, per cui prima studiati la teoria (anche se il tuo prof non ne ha parlato ne vale comunque la pena a titolo di cultura personale) e poi magari si prova a impostare il calcolo insieme.