Esercizio flusso
Buonasera a tutti!
Vi scrivo in quanto ho alcune difficoltà a risolvere un esercizio.
Vi chiedo di potermi confermare o meno se l'impostazione è corretta; non posto tutto l'esercizio che ho fatto su carta, in quanto ritengo di sbagliare qualche segno (tanto per cambiare) durante lo svolgimento: la conferma di una corretta impostazione mi basta!
La richiesta è: "Calcolare il flusso uscente del campo vettoriale $\barF=x\bare_1+y\bare_2+z^2\bare_3$ attraverso la superficie della sfera di centro l'origine e raggio $a$, limitata da $z>=0$ e dal cilindro di equazione $x^2+y^2-ax=0$."
Il flusso viene richiesto attraverso una porzione della sfera, pertanto scrivo le equazioni parametriche della sfera richiesta:
$S:{(x=asin\thetacos\psi),(y=asin\thetasin\psi),(z=acos\theta):}$
Calcolo la normale alla sfera, chiamiamola $\phi_\thetaxx\phi_\psi$, dove:
$\phi_\theta=((delx)/(del\theta), (dely)/(del\theta), (delz)/(del\theta))$ e $\phi_\psi=((delx)/(del\psi), (dely)/(del\psi), (delz)/(del\psi))$.
Ottengo: $\phi_\thetaxx\phi_\psi=(a^2sin^2\thetacos\psi, a^2sin^2\thetasin\psi,a^2sin\thetacos\theta)$.
Ora, dalla definizione di flusso: $\int_{S}\barF*\barndS=\int\int_{K}\barF(\barx(\theta,\psi))*\phi_\thetaxx\phi_\psid\theta\dpsi$,
risolvo l'integrale (tralasciamo i passaggi).
La cosa che mi preme verificare sono gli estremi di integrazione di $\theta$ e di $\psi$.
Siccome devo descrivere la sfera, solo relativa al semipiano $z>=0$, è ovvio che $\theta \in [0,\pi/2]$.
Per quanto riguarda invece $\psi$, ho sostanzialmente considerato la proiezione delle due circonferenze relative alla sfera, cioè $x^2+y^2=a^2$ e al cilindro, cioè $x^2+y^2-ax=0$, sul piano $z=0$ e ho ricavato con la geometria elementare che $\psi \in [\pi/4, 3\pi/4]$.
Quindi in definitiva:
$F_S(S)=a^3\int_{0}^(\pi/2)d\theta\int_{\pi/4}^(3\pi/4)[sin^3\theta+asin\thetacos^3\theta]d\psi$.
Vi ringrazio tutti per eventuali conferme/smentite!
Vi scrivo in quanto ho alcune difficoltà a risolvere un esercizio.
Vi chiedo di potermi confermare o meno se l'impostazione è corretta; non posto tutto l'esercizio che ho fatto su carta, in quanto ritengo di sbagliare qualche segno (tanto per cambiare) durante lo svolgimento: la conferma di una corretta impostazione mi basta!
La richiesta è: "Calcolare il flusso uscente del campo vettoriale $\barF=x\bare_1+y\bare_2+z^2\bare_3$ attraverso la superficie della sfera di centro l'origine e raggio $a$, limitata da $z>=0$ e dal cilindro di equazione $x^2+y^2-ax=0$."
Il flusso viene richiesto attraverso una porzione della sfera, pertanto scrivo le equazioni parametriche della sfera richiesta:
$S:{(x=asin\thetacos\psi),(y=asin\thetasin\psi),(z=acos\theta):}$
Calcolo la normale alla sfera, chiamiamola $\phi_\thetaxx\phi_\psi$, dove:
$\phi_\theta=((delx)/(del\theta), (dely)/(del\theta), (delz)/(del\theta))$ e $\phi_\psi=((delx)/(del\psi), (dely)/(del\psi), (delz)/(del\psi))$.
Ottengo: $\phi_\thetaxx\phi_\psi=(a^2sin^2\thetacos\psi, a^2sin^2\thetasin\psi,a^2sin\thetacos\theta)$.
Ora, dalla definizione di flusso: $\int_{S}\barF*\barndS=\int\int_{K}\barF(\barx(\theta,\psi))*\phi_\thetaxx\phi_\psid\theta\dpsi$,
risolvo l'integrale (tralasciamo i passaggi).
La cosa che mi preme verificare sono gli estremi di integrazione di $\theta$ e di $\psi$.
Siccome devo descrivere la sfera, solo relativa al semipiano $z>=0$, è ovvio che $\theta \in [0,\pi/2]$.
Per quanto riguarda invece $\psi$, ho sostanzialmente considerato la proiezione delle due circonferenze relative alla sfera, cioè $x^2+y^2=a^2$ e al cilindro, cioè $x^2+y^2-ax=0$, sul piano $z=0$ e ho ricavato con la geometria elementare che $\psi \in [\pi/4, 3\pi/4]$.
Quindi in definitiva:
$F_S(S)=a^3\int_{0}^(\pi/2)d\theta\int_{\pi/4}^(3\pi/4)[sin^3\theta+asin\thetacos^3\theta]d\psi$.
Vi ringrazio tutti per eventuali conferme/smentite!
Risposte
Credo che dovresti applicare il teorema della divergenza:
$\int_V\ \nabla\cdot\bbF dV=\int_(\partialV)\bbF\cdot\bbn\ ds$
ovvero calcolare la divergenza del campo, integrarla su tutto il volume e hai il flusso uscente dal volume/superficie
$\int_V\ \nabla\cdot\bbF dV=\int_(\partialV)\bbF\cdot\bbn\ ds$
ovvero calcolare la divergenza del campo, integrarla su tutto il volume e hai il flusso uscente dal volume/superficie
No, non si può perchè la superficie attraverso la quale si deve calcolare il flusso non è chiusa e quindi non è una frontiera di un volume.
Grazie comunque Quinzio
P.S. Come fai a scrivere i caratteri in grassetto?
Grazie comunque Quinzio
P.S. Come fai a scrivere i caratteri in grassetto?
F grassetto = "\bb F"
b sarebbe l'abbreviazioni di bold.
PS. Scusa, ero partito considerando la superficie del volume che si avrebbe con le condizioni....
b sarebbe l'abbreviazioni di bold.
PS. Scusa, ero partito considerando la superficie del volume che si avrebbe con le condizioni....
up
"Demostene92":
Quindi in definitiva:
$F_S(S)=a^3\int_{0}^(\pi/2)d\theta\int_{\pi/4}^(3\pi/4)[sin^3\theta+asin\thetacos^3\theta]d\psi$.
Vi ringrazio tutti per eventuali conferme/smentite!
Direi che gli estremi NON vanno bene.
$\psi$ deve essere per forza funzione di $\theta$.
"Ad occhio" mi sembra che $\psi \in [-\pi/2 cos\theta, \pi/2 cos\theta]$ e $\theta\in[0,\pi/2]$
Rimanendo in coordinate cilindriche mi sembra che tutto venga più pulito.
Posso chiederti di illustrarmi i passaggi che ti portano a determinare quegli estremi per $\psi$? Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
Scusa, fatto meglio i calcoli:
$\psi \in [\pi/2-\theta, \theta-\pi/2]$ e $\theta\in[0,\pi/2]$
I calcoli non sono difficili, per $\theta$ hai la proiezione sulla sezione del cilindro che è $a sin\theta$
Quindi devi trovare l'intersezione tra una circonferenza di raggio $a sin\theta$ e $x^2+y^2-ax=0$.
Trovi le coordinate polari dei due punti, il cui angolo è $psi$.
$\psi \in [\pi/2-\theta, \theta-\pi/2]$ e $\theta\in[0,\pi/2]$
I calcoli non sono difficili, per $\theta$ hai la proiezione sulla sezione del cilindro che è $a sin\theta$
Quindi devi trovare l'intersezione tra una circonferenza di raggio $a sin\theta$ e $x^2+y^2-ax=0$.
Trovi le coordinate polari dei due punti, il cui angolo è $psi$.
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