Esercizio facile(analisi matematica 1)
Buongiorno a tutti!Ho appena fatto los critto di analisi 1 volevo sapere se potevate dirmi la soluzione di questo esercizio!
Grazie mille come sempre per la disponibilità!
Assegnata la funzione:
f(x)=|x^2 - 3x + 2|
a)Dire se f è continua in Tutto R e giustificare la risposta;
b)Dire se f è derivabile in tutto R e giustificare la risposta.
Grazie Ancora!
anna.
Grazie mille come sempre per la disponibilità!
Assegnata la funzione:
f(x)=|x^2 - 3x + 2|
a)Dire se f è continua in Tutto R e giustificare la risposta;
b)Dire se f è derivabile in tutto R e giustificare la risposta.
Grazie Ancora!
anna.
Risposte
la funzione assegnata è banalmente continua in tutto R in quanto il dominio coincide con R.
invece non è derivabile in tutto R; infatti; la derivata vale:
2x - 3 per f(x) >= 0
-2x + 3 per f(x) < 0
ora, se ti vai a calcolare le derivate da destra e da sinistra nei punti x=1 e x=2 ottieni derivate diverse, quindi la funzione non è derivabile in tutto R.
p.s. quando hai un polinomio dentro un modulo, a meno che non sia positivo o negativo in tutto l'asse, è sempre continuo in tutto R e non è mai derivabile in tutto R. ricordatelo bene!! aiuta molto sapere, quando possibile, il risultato prima di svolgere calcoli.
ciao, ubermensch
invece non è derivabile in tutto R; infatti; la derivata vale:
2x - 3 per f(x) >= 0
-2x + 3 per f(x) < 0
ora, se ti vai a calcolare le derivate da destra e da sinistra nei punti x=1 e x=2 ottieni derivate diverse, quindi la funzione non è derivabile in tutto R.
p.s. quando hai un polinomio dentro un modulo, a meno che non sia positivo o negativo in tutto l'asse, è sempre continuo in tutto R e non è mai derivabile in tutto R. ricordatelo bene!! aiuta molto sapere, quando possibile, il risultato prima di svolgere calcoli.
ciao, ubermensch
Grazie ubermensch per a vermi risposto!
Un ultima cosa..che vuol dire prova a derivare a destra e da sinistra??
Anna.
Un ultima cosa..che vuol dire prova a derivare a destra e da sinistra??
Anna.
immagino che tu conosci il limite da destra e il limite da sinistra..
una funzione continua in xo è derivabile in xo se risulta:
ora, considerando xo=1 e xo=2 facendo quei limiti si ottengono diversi, quindi non è derivabile.
questo è quello che succede concettualmente; in genere si fa in un altro modo:
riprendendo il tuo esercizio, si ha che le derivate sono:
ora, all'interno di tali intervalli è ovvio che la derivata è continua, in quanto l'espressione della derivata è lineare.
quindi consideriamo solo gli estremi; ovvero x=1 e x=2. occorre quindi derivare da sinistra (lo devi fare da sinistra perchè la derivata è definita, nel primo caso, solo in un intorno sinistro di 1) nella prima; e ciò significa fare il limite per x->1-; ovvero sostituire semplicemente x=1; e ottieni f'(x) = -1; la seconda invece la devi derivare da destra, essendo definita in un intorno destro di a; quindi, anche in questo caso è sufficiente sostituire x=1; e ottieni f'(x) = 1; poichè i valori sono differenti, essi non soddisfano l'eguaglianza che ti ho messo all'inizio, quindi f(x) non è derivabile per x=1.
puoi fare una cosa analoga nel caso di x=2.
spero di essere stato chiaro.
ciao, ubermensch
una funzione continua in xo è derivabile in xo se risulta:
f(x) - f(xo) f(x) - f(xo)
lim -------------- = lim --------------
x->xo+ x - xo x->xo- x - xo
ora, considerando xo=1 e xo=2 facendo quei limiti si ottengono diversi, quindi non è derivabile.
questo è quello che succede concettualmente; in genere si fa in un altro modo:
riprendendo il tuo esercizio, si ha che le derivate sono:
2x-3 per x elemento di (-oo,1] U [2,+oo)
-2x+3 (1,2)
ora, all'interno di tali intervalli è ovvio che la derivata è continua, in quanto l'espressione della derivata è lineare.
quindi consideriamo solo gli estremi; ovvero x=1 e x=2. occorre quindi derivare da sinistra (lo devi fare da sinistra perchè la derivata è definita, nel primo caso, solo in un intorno sinistro di 1) nella prima; e ciò significa fare il limite per x->1-; ovvero sostituire semplicemente x=1; e ottieni f'(x) = -1; la seconda invece la devi derivare da destra, essendo definita in un intorno destro di a; quindi, anche in questo caso è sufficiente sostituire x=1; e ottieni f'(x) = 1; poichè i valori sono differenti, essi non soddisfano l'eguaglianza che ti ho messo all'inizio, quindi f(x) non è derivabile per x=1.
puoi fare una cosa analoga nel caso di x=2.
spero di essere stato chiaro.
ciao, ubermensch
citazione:
la funzione assegnata è banalmente continua in tutto R in quanto il dominio coincide con R.
A dire il vero una funzione può avere dominio=R ma non essere continua es:
f(x)=1 x>=0
f(x)=0 x<0
La funzione presentata da sch4tz è continua perché è la composizione di due funzioni continue su R. Cioè:
g(x)=|x|
h(x)=x^2-3x+2
f(x) = g(h(x))
hai ragione goblyn: per gudagnare in brevità ho perso in rigore
ciao
ciao
Grazie tante ubermensch e goblyn x lo svolgimento dell'esercizio!
Baci Anna.
Baci Anna.
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