Esercizio estremo superiore/inferiore in tre variabili
Salve! Ero alle prese con questo esercizio:
"Sia $f(x,y,z)=x^2+y^3+z^4$ e $A$ l'insieme $A={(x,y,z) in RR^3 : x>0, y>0, z>0, xyz=1}$. Determinare estremo inferiore/superiore di f in A precisando se si tratta di massimo/minimo.
Io intanto ho trovato che l'estremo superiore è $+infty$, grazie a $(t,1/t,1)$ che appartiene ad A e sostituendo in f e facendo tendere t a infinito ottengo l'estremo superiore.
Per quanto riguardo l'inferiore, volevo cercare di dimostrare l'esistenza del limite a più infinito della $f(x,y,z)$ cosi da ricercare, per Weierstrass, il minimo in A
"Sia $f(x,y,z)=x^2+y^3+z^4$ e $A$ l'insieme $A={(x,y,z) in RR^3 : x>0, y>0, z>0, xyz=1}$. Determinare estremo inferiore/superiore di f in A precisando se si tratta di massimo/minimo.
Io intanto ho trovato che l'estremo superiore è $+infty$, grazie a $(t,1/t,1)$ che appartiene ad A e sostituendo in f e facendo tendere t a infinito ottengo l'estremo superiore.
Per quanto riguardo l'inferiore, volevo cercare di dimostrare l'esistenza del limite a più infinito della $f(x,y,z)$ cosi da ricercare, per Weierstrass, il minimo in A
Risposte
Estremi vincolati?
Gradiente uguale lambda volte il gradiente etc...
Gradiente uguale lambda volte il gradiente etc...
Il problema che A non è compatto...
Non posso essere sicuro di applicare i moltiplicatori di lagrange
Non posso essere sicuro di applicare i moltiplicatori di lagrange
Ho considerato che $A={(x,y,1/(xy)) inRR^3:x,y in(0,+infty)}$
In poche parole la funzione $f|_A:A->RR$ e la funzione $g:B=RR^(>)timesRR^(>)->RR$ definita come $g(x,y)=x^2+y^3+1/(xy)^4$ hanno la proprietà tale per cui $f(A)=g(B)$
La cosa buona è che $B$ coincide con il suo interno e che quindi possiamo provare a considerare la condizione necessaria per i punti di Massimo/minimo(fermat). La funzione $g$ è derivabile parzialmente su tutto $B$, in realtà anche differenziabile visto che le derivate parziali sono continue.
Comunque sappiamo che se $nablag$ non si annullasse in alcun punto interno allora non esisterebbero sicuramente nè massimo nè minimo, visto che come abbiamo detto $g$ ha derivata esistente in ogni punto.
Calcolandoti $nablag(x,y)=vec(0)$ ti trovi che l’unico punto in cui il gradiente si annulla è in prossimità di $(sqrt(3/2root(13)((16/27)^3)),sqrt(16/27))$
Non potendo essere di Massimo, visto che il sup rende a $+infty$ tale punto può essere, in caso affermativo, solo di minimo.
La funzione è di classe $C^2(B)$ quindi ora in teoria basta vedere com’è combinata l’hessiana.
Chiaramente tale punto è di minimo anche per $f$ basta portare il punto trovato su $A$
basta considerare che la funzione $h:B->A$ tale che $h(x,y)=(x,y,1/(xy))$ è una biezione.
Chiaramente $h$ è suriettiva e anche iniettiva.
In ogni caso preso $t$ questo punto di minimo si ha che $g(t) inf(A)$ dunque esiste $k inA:f(k)=g(t)$ tale valore $k$ non è altro che il punto di minimo della funzione $f$ che sarà propri $f(h(t))=g(t)leqg(x)=f(h(x)),forallx in B$
Ovvero $f(h(t))leqf(h(x))=f(x,y,1/(xy))$
Spero di non averla fatta grossa, ma sono fiducioso.
In poche parole la funzione $f|_A:A->RR$ e la funzione $g:B=RR^(>)timesRR^(>)->RR$ definita come $g(x,y)=x^2+y^3+1/(xy)^4$ hanno la proprietà tale per cui $f(A)=g(B)$
La cosa buona è che $B$ coincide con il suo interno e che quindi possiamo provare a considerare la condizione necessaria per i punti di Massimo/minimo(fermat). La funzione $g$ è derivabile parzialmente su tutto $B$, in realtà anche differenziabile visto che le derivate parziali sono continue.
Comunque sappiamo che se $nablag$ non si annullasse in alcun punto interno allora non esisterebbero sicuramente nè massimo nè minimo, visto che come abbiamo detto $g$ ha derivata esistente in ogni punto.
Calcolandoti $nablag(x,y)=vec(0)$ ti trovi che l’unico punto in cui il gradiente si annulla è in prossimità di $(sqrt(3/2root(13)((16/27)^3)),sqrt(16/27))$
Non potendo essere di Massimo, visto che il sup rende a $+infty$ tale punto può essere, in caso affermativo, solo di minimo.
La funzione è di classe $C^2(B)$ quindi ora in teoria basta vedere com’è combinata l’hessiana.
Chiaramente tale punto è di minimo anche per $f$ basta portare il punto trovato su $A$
basta considerare che la funzione $h:B->A$ tale che $h(x,y)=(x,y,1/(xy))$ è una biezione.
Chiaramente $h$ è suriettiva e anche iniettiva.
In ogni caso preso $t$ questo punto di minimo si ha che $g(t) inf(A)$ dunque esiste $k inA:f(k)=g(t)$ tale valore $k$ non è altro che il punto di minimo della funzione $f$ che sarà propri $f(h(t))=g(t)leqg(x)=f(h(x)),forallx in B$
Ovvero $f(h(t))leqf(h(x))=f(x,y,1/(xy))$
Spero di non averla fatta grossa, ma sono fiducioso.
A primo impatto mi è chiaro...poi lo rivedo per bene xD
Ma chi mi assicura che il minimo esiste??
Ma chi mi assicura che il minimo esiste??
Il gradiente si annulla
F è di classe C2
In quel punto l’hessiana è definita negativa
F è di classe C2
In quel punto l’hessiana è definita negativa
Comunque il metodo dei moltiplicatori di Lagrange non necessita la compattezza. Lo puoi benissimo applicare a questo problema. Oppure, come ha fatto anto_zoolander, ti riconduci a un problema di ottimizzazione libera in due variabili anziché tre.
P.S.: Il limite ad infinito della funzione è \(+\infty\). Questo si può vedere velocemente osservando che, nella regione \(\{(x, y, z)\in \mathbb R^3\ :\ x> 0, y >1, z>1\}\) si ha
\[
f(x, y, z)\ge x^2+y^2+z^2 \to \infty.\]
In particolare, come hai giustamente affermato, la funzione deve ammettere minimo in \(A\).
P.S.: Il limite ad infinito della funzione è \(+\infty\). Questo si può vedere velocemente osservando che, nella regione \(\{(x, y, z)\in \mathbb R^3\ :\ x> 0, y >1, z>1\}\) si ha
\[
f(x, y, z)\ge x^2+y^2+z^2 \to \infty.\]
In particolare, come hai giustamente affermato, la funzione deve ammettere minimo in \(A\).
@dissonance
Eeh è un po' un casino dal punto di vista teorico. Ne abbiamo già parlato in quel post dove intervenne pure killing_buddha. In generale il calcolo differenziale "standard" si fa sugli aperti di \(\mathbb R^n\). Nel caso di questo post, la funzione da ottimizzare è definita su una roba che non è un aperto. E allora che si fa? A questo serve il metodo dei moltiplicatori di Lagrange che ci permette di ricondurci al calcolo differenziale sugli aperti.
Dal punto di vista operativo, questo è tutto quello che c'è da sapere.
Dal punto di vista teorico, se queste cose ti interessano, studia la geometria differenziale.
Dal punto di vista operativo, questo è tutto quello che c'è da sapere.
Dal punto di vista teorico, se queste cose ti interessano, studia la geometria differenziale.
Si infatti mi è sorto il dubbio che non tutte le funzioni definite su domini strani potessero essere ricondotte a funzioni con qualche variabile in meno su domini con interno non vuoto.
Grazie
Grazie
Mi ero espresso male. Sapevo che potevo applicare il metodo dei moltiplicatori nonostante A non fosse compatto. Volevo essere proprio sicuro dell'esistenza dell'inf=min.
Grazie a entrambi!
P.s. @anto_zoolander forse un errore di battitura quando hai scritto il fatto dell' Hessiana...per il minimo non dovrebbe essere definita positiva?
Grazie a entrambi!
P.s. @anto_zoolander forse un errore di battitura quando hai scritto il fatto dell' Hessiana...per il minimo non dovrebbe essere definita positiva?
Si scusami :-S
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