Esercizio Estremo Inferiore e Superiore

[davide9715]

Trovare l'estremo inferiore e superiore dell'insieme dei numeri reali della forma
$$\frac{(n+m)^2}{2^{n m}} \quad n, m \in \mathbb{N}
.$$

Svolgendo l'esercizio per induzione mi trovo $$n^2<2 $$ per n=1.
Facendo il limite di n che tende a +Infinito mi trovo 0.

Così facendo ho dimostrato l'esistenza dell'estremo inferiore , tuttavia mi manca quello superiore e non riesco a trovarlo.
Consigli o possibili soluzioni? Grazie.

[Wilde1]

Forse ti conviene spiegare meglio quello che hai fatto, e ripassare la teoria.

Suggerimento:
1. Cosa succede se prendo $n=m=0$ ?
2. E se prendo solo $n=0$ ?

[IlPolloDiGödel]

"DAVIDE9792":
Facendo il limite di n che tende a +Infinito mi trovo 0.

Si beh, molto più semplicemente, la funzione è sempre positiva e si annulla per $n=m=0$, quindi è chiaro che l'estremo inferiore, che poi è anche il minimo, è nell'origine.
Quanto all'estremo superiore, dato che la funzione è definita e continua su tutto $NN^2$, il sup sarà anche il max, quindi massimizza la funzione e lo troverai (derivate parziali, gradiente nullo, hessiana... è molto meccanica come proceduta).

[IlPolloDiGödel]

"DAVIDE9792":
Facendo il limite di n che tende a +Infinito mi trovo 0.

Si beh, molto più semplicemente, la funzione è sempre positiva e si annulla per $n=m=0$, quindi è chiaro che l'estremo inferiore, che poi è anche il minimo, è nell'origine.
Quanto all'estremo superiore, dato che la funzione è definita e continua su tutto $NN^2$, il sup sarà anche il max, quindi massimizza la funzione e lo troverai (derivate parziali, gradiente nullo, hessiana... è molto meccanica come proceduta).