Esercizio estremi vincolati
Ciao a tutti,ho un problema con questo esercizio,qualcuno può aiutarmi?
Ho questa funzione:
$f(x, y) = xy − 3x^2y − 3xy^2$
e devo determinare gli estremi assoluti della funzione f nella regione interna al triangolo delimitato
dagli assi cartesiani e dalla retta di equazione $x + y = 1/3$
Osservando che la funzione è di classe $C^∞(R^2)$, e che l'insieme D è compatto, cioè chiuso e limitato, il teorema di Weierstrass mi assicura l' esistenza del max e min di f su D. Cerco tali punti tra i punti interni a D dove il gradiente di f si annulla e sulla frontiera di D.
Tra i punti interni ho trovato 3 punti di sella e 1 punto di massimo relativo;sulla frontiera,invece, ho che la funzione è identicamente nulla.Ora,la mia funzione assume nel punto di massimo relativo trovato il valore 1/243,per cui ho che esso è un punto di massimo assoluto.La mia domanda è,se ho ragionato bene,non dovrei avere anche un punto di minimo assoluto?
Ho questa funzione:
$f(x, y) = xy − 3x^2y − 3xy^2$
e devo determinare gli estremi assoluti della funzione f nella regione interna al triangolo delimitato
dagli assi cartesiani e dalla retta di equazione $x + y = 1/3$
Osservando che la funzione è di classe $C^∞(R^2)$, e che l'insieme D è compatto, cioè chiuso e limitato, il teorema di Weierstrass mi assicura l' esistenza del max e min di f su D. Cerco tali punti tra i punti interni a D dove il gradiente di f si annulla e sulla frontiera di D.
Tra i punti interni ho trovato 3 punti di sella e 1 punto di massimo relativo;sulla frontiera,invece, ho che la funzione è identicamente nulla.Ora,la mia funzione assume nel punto di massimo relativo trovato il valore 1/243,per cui ho che esso è un punto di massimo assoluto.La mia domanda è,se ho ragionato bene,non dovrei avere anche un punto di minimo assoluto?
Risposte
Siamo sicuri che l'insieme \(D\) sia chiuso?
Il testo dell'esercizio è questo...non saprei..forse ho sbagliato i calcoli? o è possibile che i punti della frontiera dove la funzione è identicamente nulla siano tutti punti di minimo assoluto?
l'insieme $D$ è chiuso e limitato
se hai fatto bene tutti i calcoli è proprio come hai detto :la funzione ammette infiniti punti di minimo assoluto
è una possibilità che non va contro nessuna legge matematica
se hai fatto bene tutti i calcoli è proprio come hai detto :la funzione ammette infiniti punti di minimo assoluto
è una possibilità che non va contro nessuna legge matematica
L'esercizio richiede di cercare i punti nella "regione interna", pensavo intendesse esclusa la frontiera e quindi vedevo \(D\) come l'insieme privato del bordo. Ma evidentemente con "regione interna" era una locuzione del linguaggio comune e non matematico 
Grazie mille:)
Ho una domanda più che altro teorica, riguardante sempre gli estremi vincolati:
" Data la funzione $f(x, y) = xy - 2x^2y - 2xy^2$ determinare gli estremi assoluti della funzione nella regione interna al triangolo delimitato dagli assi cartesiani e dalla retta di equazione $y = x + 1/2$ "
Ho dei dubbi sul ragionamento. Considerando che il dominio è tutto l'insieme $RR^2$, il testo mi dice che gli estremi assoluti devo cercarli nei punti interni al triangolo dato. Per la ricerca dei miei estremi assoluti devo considerare solo i punti critici interni al triangolo quindi?
" Data la funzione $f(x, y) = xy - 2x^2y - 2xy^2$ determinare gli estremi assoluti della funzione nella regione interna al triangolo delimitato dagli assi cartesiani e dalla retta di equazione $y = x + 1/2$ "
Ho dei dubbi sul ragionamento. Considerando che il dominio è tutto l'insieme $RR^2$, il testo mi dice che gli estremi assoluti devo cercarli nei punti interni al triangolo dato. Per la ricerca dei miei estremi assoluti devo considerare solo i punti critici interni al triangolo quindi?
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