Esercizio Estremi Relativi
Sto risolvendo quest'esercizio; che ho trovato su internet; mi chiede di determinare i punti di massimo e minimo relativo:
$f(x,y)=x^2-xy^2+x^2y$
Ho determinato i punti di estremo relativo ottenendo i seguenti punti:
$(0,0)$ e $(-8/3,-4/3)$; ora il primo studiando l'hessiano è un punto di sella; il secondo invece; soddisfa solo la condizione necessaria cioè la matrice Hessiana risulta semidefinita positiva.A questo punto devo procedere con lo studio manuale.Vi chiedo come posso fare?Ci sono dei passi standard da seguire quando si studia un punto tramite la definizione?
Io ho fatto questo ragionamento:
1)Devo verificare che in un intorno circolare del punto $(0,0)$ risulti verificata questa condizione $f(x,y)-f(0,0)>=0$ che equivale a valutare $f(x,y)>=0$ in un intorno dell'origine.Come posso procedere?
$f(x,y)=x^2-xy^2+x^2y$
Ho determinato i punti di estremo relativo ottenendo i seguenti punti:
$(0,0)$ e $(-8/3,-4/3)$; ora il primo studiando l'hessiano è un punto di sella; il secondo invece; soddisfa solo la condizione necessaria cioè la matrice Hessiana risulta semidefinita positiva.A questo punto devo procedere con lo studio manuale.Vi chiedo come posso fare?Ci sono dei passi standard da seguire quando si studia un punto tramite la definizione?
Io ho fatto questo ragionamento:
1)Devo verificare che in un intorno circolare del punto $(0,0)$ risulti verificata questa condizione $f(x,y)-f(0,0)>=0$ che equivale a valutare $f(x,y)>=0$ in un intorno dell'origine.Come posso procedere?
Risposte
Io inizierei notando che $x^2-xy^2+x^2y>=0hArrx*(x-y^2+xy)>=0$ Per studiare il prodotto dei segni puoi usare un metodo grafico, considerando che quella fra parentesi è l'equazione di una conica.
Io infatti come prima cosa ho iniziato con il determinare l'insieme degli zeri; che dovrebbe essere la retta di equazione $x=0$ cioè l'asse delle $y$; solo che non riesco a capire la sconda che tipo si equazione è.Nel caso in cui io invece calcoli la derivata normalmente distinguendo i vari casi; come sarei riuscito a capire che la mia funzione non era derivabile in quei punti?
Ehm, il problema è che non so quale studio tu abbia fatto sulle coniche. Se ti parlo di forma quadratica associata alla conica, sai di cosa parlo? Se sì, basta studiare il determinante della matrice. Poi per disegnarla, si può trovare il centro e procedere per rotazioni e/o traslazioni. In ogni caso, questa dovrebbe essere un'iperbole.
Dovrebbe essere geometria si ho un qualche vago ricordo ora provo a ridare un occhiata agli appunti di geometria
Sì, si fa in geometria. Se l'hai fatto, vai tranquillo. Basta che ti ripassi un attimo il metodo, non dovrebbe essere difficile disegnare la conica. A quel punto, controlla l'intorno del punto che ti serve.EDIT: sai, ora che ci penso il punto che ti serviva era $(0,0)$. La conica passa per quel punto, quindi mi sa che in un intorno trovi sia punti in cui la funzione è negativa, sia punti in cui la funzione è positiva.
Allora è nl'equazione di una iperbole non equilatera.
Sì, puoi trovare centro e asintoti se vuoi disegnarla. Comunque, è bene ripassarle queste cose perché potrebbero essere utili. Ma in questo caso, mi sa che è sufficiente dire che la conica passa per $(0,0)$, quindi troverai sempre un intorno in cui ci sono punti per cui l'equazione è positiva e punti per cui l'equazione è negativa. Aspetta qualcun altro per maggiori conferme.
Per trovare il centro e gli asintoti dovrei prima portarmi l'equazione in forma canonica.Giusto?
O posso trovarli direttamente da quell'equazione?
O posso trovarli direttamente da quell'equazione?
Beh, sì, se ti riduci in forma canonica, capendo quale traslazioni e/o rotazioni sono state effettuate, hai finito. Anche se mi sembra ci fosse un modo più diretto per trovare centro e asintoti. Se denoti $F(x,y)$ l'equazione della conica, mi sembra che il centro si trovi risolvendo ${((\delF)/(\delx)=0),((\delF)/(\dely)=0):}$. Gli asintoti non ricordo
Di geometria non ricordo nulla dovrò ripassare tutto.....cmq una volta trovato l'insieme degli zeri avrò che il dominio della mia funzione sarà suddiviso in vari insiemi aperti e connessi; aperti in quanto non considero il luogo in cui si annulla; a questo punto valuto la funzione in un punto dii questi insiemi se ne determino il segno; in quanto se è positiva sarà positiva in tutto l'insieme (escludendo gli zeri);perchè altrimenti se fosse negativa in un altro punto avrei per il teorema di esistenza degli zeri; ke ci dovrebbe essere un punto in cui si annula; ma questo non potrebbe essere perchè inizialmente ho escluso da questi insiemi gli zeri.E' corretto il ragionamento o vi è un modo più semplice?
Sì, è corretto. Motivo per cui prima dicevo, che essendo $(0,0)$ uno zero... Ogni suo intorno interseca diversi insiemi, che dovrebbero essere di segno diverso.
Ogni suo intorno interseca diversi insiemi, che dovrebbero essere di segno diverso.
Si ma il mio dubbio è che non posso dire che sicuramente la funzione cambierà di segno se prima non calcolo la funzione in almeno un punto di ciascun insieme.
Nel caso in cui invece dovessi studiare gli estremi relativi di questa funzione:
$f(x,y)=|x^2-1|y$ come devo fare?
Io ho prima scritto la funzione nel seguente modo:
$f(x,y)=\{((x^2-1)y rArr x<-1; x>1),(0 rArr x=-1;1),(-(x^2-1)y rArr -1
$(1,0)$ $(-1,0)$ $(0,0)$; questi sono i punti che soddisfano la condizione necessaria di Fermat.Tuttavia non mi è chiara una cosa i 2 punti $(1,0)$ e $(-1,0)$; si trovano sulle rette di equazione $x=1$ e $x=-1$ e non riesco a capire se in questi 2 punti la funzione è derivabile.
Nel caso in cui invece dovessi studiare gli estremi relativi di questa funzione:
$f(x,y)=|x^2-1|y$ come devo fare?
Io ho prima scritto la funzione nel seguente modo:
$f(x,y)=\{((x^2-1)y rArr x<-1; x>1),(0 rArr x=-1;1),(-(x^2-1)y rArr -1
$(1,0)$ $(-1,0)$ $(0,0)$; questi sono i punti che soddisfano la condizione necessaria di Fermat.Tuttavia non mi è chiara una cosa i 2 punti $(1,0)$ e $(-1,0)$; si trovano sulle rette di equazione $x=1$ e $x=-1$ e non riesco a capire se in questi 2 punti la funzione è derivabile.
Se tu disegni un'iperbole (per semplicità, ne metto una non ruotata) di equazione $x^2-y^2-a^2=0$, sai riconoscere in quali zone vale $>=0$ e in quali $<=0$? (Sulla curva vale l'uguaglianza). Devi applicare lo stesso ragionamento.
Per la funzione che segue, tu sai che il valore assoluto di una funzione non è derivabile dove la funzione si annulla. In questo caso dunque la tua funzione non è derivabile in tutti i punti dell'insieme $A={(x,y)inRR^2|x,yinRR, x=1 vv x=-1}$. Quindi, non ha senso chiedere se un tale punto sia critico, perché il gradiente non è definito.
In realtà, $(\delf)/(\dely)=|x^2-1|$ e tale funzione è continua.
Il problema è che non esiste l'altra derivata parziale in tali punti. Infatti: $(\delf)/(\delx)=y*(x^2-1)/(|x^2-1|)*2x$.
Quindi, devi lavorare anche qui "a mano", studiare i segni per controllare si ci siano eventuali massimi o minimi, lungo i punti di non derivabilità. Ma considera che il valore assoluto è sempre positivo, quindi il segno dipende solo dalla $y$.
Per la funzione che segue, tu sai che il valore assoluto di una funzione non è derivabile dove la funzione si annulla. In questo caso dunque la tua funzione non è derivabile in tutti i punti dell'insieme $A={(x,y)inRR^2|x,yinRR, x=1 vv x=-1}$. Quindi, non ha senso chiedere se un tale punto sia critico, perché il gradiente non è definito.
In realtà, $(\delf)/(\dely)=|x^2-1|$ e tale funzione è continua.
Il problema è che non esiste l'altra derivata parziale in tali punti. Infatti: $(\delf)/(\delx)=y*(x^2-1)/(|x^2-1|)*2x$.
Quindi, devi lavorare anche qui "a mano", studiare i segni per controllare si ci siano eventuali massimi o minimi, lungo i punti di non derivabilità. Ma considera che il valore assoluto è sempre positivo, quindi il segno dipende solo dalla $y$.
S ma non mi è chiara una cosa sulla derivabilità io ho esplicitato il valore assoluto; e quindi la derivata mi verrebbero:
$f_x=2xy$ $f_y=x^2-1$ se $x<-1; x>1$
$f_x=0$ $f_y=0$ se $x=+1,-1$
$f_x=-2xy$ $f_y=-x^2+1$ se $-1
$f_x=2xy$ $f_y=x^2-1$ se $x<-1; x>1$
$f_x=0$ $f_y=0$ se $x=+1,-1$
$f_x=-2xy$ $f_y=-x^2+1$ se $-1
Come hai calcolato le derivate parziali per $x=1$ e $x=-1$?
Non so se sto dicendo una cavolata ma per quei valori la funzione è nulla e quindi la derivata dovrebbe essere sempre $0$.Il kmio dubbio è come fare a capire se una funzione risulta essere derivabile sia rispetto a x xhe rispetto a y.senza costruire i rapporti incremenatali e fare i limiti.
Aspetta, in quel modo tu stai calcolando la derivata di una costante, ovvio che ti venga nulla. Anche se calcoli la funzione in un qualsiasi altro punto e poi derivi ti verrà nulla.
Ma la definizione di derivata è un'altra ed è il limite del rapporto incrementale che ben conosciamo. Poi, esistono una serie di regole che ci permettono di far prima nel derivare.
Quando devi calcolare la derivata in un punto dubbio, devi necessariamente controllare con il rapporto incrementale. O in questo caso puoi usare un fatto noto, cioè che il modulo di una funzione non è derivabile nei punti in cui la funzione si annulla (e questo avviene solo quando derivi rispetto a $x$, perché quando derivi rispetto a $y$, la quantità sotto il modulo la tratti come una semplice costante)
Ma la definizione di derivata è un'altra ed è il limite del rapporto incrementale che ben conosciamo. Poi, esistono una serie di regole che ci permettono di far prima nel derivare.
Quando devi calcolare la derivata in un punto dubbio, devi necessariamente controllare con il rapporto incrementale. O in questo caso puoi usare un fatto noto, cioè che il modulo di una funzione non è derivabile nei punti in cui la funzione si annulla (e questo avviene solo quando derivi rispetto a $x$, perché quando derivi rispetto a $y$, la quantità sotto il modulo la tratti come una semplice costante)
Quindi in questo caso se esplicito il valore assoluto per capire se derivabile o no devo usare necessariamente il rapporto incrementale?Oppure seguire la strada da te seguita prima e vedere poi per quali valori non è definita la derivata e questi sono i punti di non derivabilità.Giusto?
Sì, puoi fare in entrambi i modi. Oppure, ripeto, dare come fatto ovvio la non derivabilità dei punti in cui il modulo si annulla.
Forse il metodo da te postato è più semplice rispetto al rapporto incrementale o sbaglio?
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