Esercizio Estremi Relativi
Sto risolvendo quest'esercizio; che ho trovato su internet; mi chiede di determinare i punti di massimo e minimo relativo:
$f(x,y)=x^2-xy^2+x^2y$
Ho determinato i punti di estremo relativo ottenendo i seguenti punti:
$(0,0)$ e $(-8/3,-4/3)$; ora il primo studiando l'hessiano è un punto di sella; il secondo invece; soddisfa solo la condizione necessaria cioè la matrice Hessiana risulta semidefinita positiva.A questo punto devo procedere con lo studio manuale.Vi chiedo come posso fare?Ci sono dei passi standard da seguire quando si studia un punto tramite la definizione?
Io ho fatto questo ragionamento:
1)Devo verificare che in un intorno circolare del punto $(0,0)$ risulti verificata questa condizione $f(x,y)-f(0,0)>=0$ che equivale a valutare $f(x,y)>=0$ in un intorno dell'origine.Come posso procedere?
$f(x,y)=x^2-xy^2+x^2y$
Ho determinato i punti di estremo relativo ottenendo i seguenti punti:
$(0,0)$ e $(-8/3,-4/3)$; ora il primo studiando l'hessiano è un punto di sella; il secondo invece; soddisfa solo la condizione necessaria cioè la matrice Hessiana risulta semidefinita positiva.A questo punto devo procedere con lo studio manuale.Vi chiedo come posso fare?Ci sono dei passi standard da seguire quando si studia un punto tramite la definizione?
Io ho fatto questo ragionamento:
1)Devo verificare che in un intorno circolare del punto $(0,0)$ risulti verificata questa condizione $f(x,y)-f(0,0)>=0$ che equivale a valutare $f(x,y)>=0$ in un intorno dell'origine.Come posso procedere?
Risposte
Sì, certo, fai prima perché in realtà io ho dato come fatto già risaputo che il modulo di una funzione non è derivabile dove la funzione si annulla.
$D(|f(x)|)=(f(x))/(|f(x)|)*f'(x)$ è semplicemente un modo più compatto per scrivere $D(|f(x)|)={(f'(x), if f(x)>0),(text(non definita), if f(x)=0),(-f'(x), if f(x)<0):}$.
E questo si dimostra facilmente considerando prima il rapporto incrementale di $|x|$ e poi usando la regola di derivazione composta.
(Ah, ovviamente, stai attento ai singoli casi, perché magari ci sono funzioni che sono prodotti o composizioni di altre funzioni e magari, anche se compare un modulo, il limite da destra e da sinistra della derivata (nel caso di una variabile) coincidono. In tale caso, se f è continua nel punto, quel limite è la tua derivata. Ora però non mi viene in mente un esempio)
$D(|f(x)|)=(f(x))/(|f(x)|)*f'(x)$ è semplicemente un modo più compatto per scrivere $D(|f(x)|)={(f'(x), if f(x)>0),(text(non definita), if f(x)=0),(-f'(x), if f(x)<0):}$.
E questo si dimostra facilmente considerando prima il rapporto incrementale di $|x|$ e poi usando la regola di derivazione composta.
(Ah, ovviamente, stai attento ai singoli casi, perché magari ci sono funzioni che sono prodotti o composizioni di altre funzioni e magari, anche se compare un modulo, il limite da destra e da sinistra della derivata (nel caso di una variabile) coincidono. In tale caso, se f è continua nel punto, quel limite è la tua derivata. Ora però non mi viene in mente un esempio)
Nel caso in cui invece dovessi valutare il rapporto incrementale; come dovrei procedere; cioè come lo costruisco?
Nella tua funzione, rispetto alla $x$ per un generico punto $(x,y)$ è $(f(x+h,y)-f(x,y))/h$. Basta applicare la definizione.
Ad esempio per $(1,0)$ hai $(f(1+h,0)-f(1,0))/h=0to0$ ovviamente. Analogamente per $x=-1$.
Scusami, ma prima mi sono espresso in modo molto ambiguo, spero di non averti fatto fare troppa confusione.
Comunque le cose stanno così:
1)$(\delf)/(\delx)=y*(x^2-1)/(|x^2-1|)*2x$ quando $x!=1$ e $x!=-1$.
E questo lo sai con CERTEZZA, usando la regola di derivazione del prodotto, perché i fattori che costituiscono la tua funzione sono ENTRAMBI derivabili.
2)Poiché sai che il modulo non è derivabile nei punti $x=1$ e $x=-1$, non puoi utilizzare le regole di derivazione. Allora, per controllare questi punti dubbi, devi necessariamente controllare con il limite del rapporto incrementale della tua funzione per vedere se la derivata esiste.
(Prima ti avevo detto di controllare "a mano" perché non avevo controllato se il lim del rapporto incrementale esistesse finito)
P.s.: In ogni caso, il modo in cui avevi calcolato tu la derivata in quei punti era sbagliato per due motivi: perché in quel modo non calcolavi la derivata della funzione in quel punto, ma calcolavi la derivata di una costante; e prima ancora perché, per il motivo appena descritto, non puoi usare regole di derivazione, perché non sai se la funzione è derivabile, ma devi controllarlo tramite definizione! Quindi era un caso che ti venisse $0$.
Ad esempio per $(1,0)$ hai $(f(1+h,0)-f(1,0))/h=0to0$ ovviamente. Analogamente per $x=-1$.
Scusami, ma prima mi sono espresso in modo molto ambiguo, spero di non averti fatto fare troppa confusione.
Comunque le cose stanno così:
1)$(\delf)/(\delx)=y*(x^2-1)/(|x^2-1|)*2x$ quando $x!=1$ e $x!=-1$.
E questo lo sai con CERTEZZA, usando la regola di derivazione del prodotto, perché i fattori che costituiscono la tua funzione sono ENTRAMBI derivabili.
2)Poiché sai che il modulo non è derivabile nei punti $x=1$ e $x=-1$, non puoi utilizzare le regole di derivazione. Allora, per controllare questi punti dubbi, devi necessariamente controllare con il limite del rapporto incrementale della tua funzione per vedere se la derivata esiste.
(Prima ti avevo detto di controllare "a mano" perché non avevo controllato se il lim del rapporto incrementale esistesse finito)
P.s.: In ogni caso, il modo in cui avevi calcolato tu la derivata in quei punti era sbagliato per due motivi: perché in quel modo non calcolavi la derivata della funzione in quel punto, ma calcolavi la derivata di una costante; e prima ancora perché, per il motivo appena descritto, non puoi usare regole di derivazione, perché non sai se la funzione è derivabile, ma devi controllarlo tramite definizione! Quindi era un caso che ti venisse $0$.
scusa ma se utilizzo la regola di derivazione; da te postata; poi vedo quando le 2 derivate sono continue e nei punti in cui non sono continue; sono i punti; in cui non è derivabile; è sbagliato questo ragionamento?
Se avessi avuto soltanto il modulo, non sarebbe sbagliato come ragionamento, perché sai che il modulo non è derivabile lì.
La regola di derivazione del prodotto ci assicura che se due funzioni sono derivabili in un certo intervallo, la funzione prodotto anche è derivabile ed è data da una certa formula. Ma questa regola NON ti dice nulla nel caso in cui una delle due funzioni NON è derivabile in un certo intervallo. Ti dice solo: se accade questo, allora puoi applicare la regola.
Allora procediamo così: $y$ è sempre derivabile (è una costante quando derivo rispetto a $x$), $|x^2-1|$ è derivabile per i punti per cui $x!=1$ e $x!=-1$. Perciò in tali punti, puoi applicare la regolare di derivazione del prodotto e ti viene la derivata che io ho postato.
Ma per $x=1$ e $x=-1$ le ipotesi del teorema di derivazione del prodotto cadono perché $|x^2-1|$. Quindi, non sai SE l'intera funzione sia derivabile. Ma allora, la regola non la puoi applicare, che fai? Usi la definizione e vedi se esiste o meno. Ad esempio, sopra ho calcolato che nel punto $(1,0)$ la derivata rispetto a $x$ esiste e vale $0$.
Spero di essere stato più chiaro.
La regola di derivazione del prodotto ci assicura che se due funzioni sono derivabili in un certo intervallo, la funzione prodotto anche è derivabile ed è data da una certa formula. Ma questa regola NON ti dice nulla nel caso in cui una delle due funzioni NON è derivabile in un certo intervallo. Ti dice solo: se accade questo, allora puoi applicare la regola.
Allora procediamo così: $y$ è sempre derivabile (è una costante quando derivo rispetto a $x$), $|x^2-1|$ è derivabile per i punti per cui $x!=1$ e $x!=-1$. Perciò in tali punti, puoi applicare la regolare di derivazione del prodotto e ti viene la derivata che io ho postato.
Ma per $x=1$ e $x=-1$ le ipotesi del teorema di derivazione del prodotto cadono perché $|x^2-1|$. Quindi, non sai SE l'intera funzione sia derivabile. Ma allora, la regola non la puoi applicare, che fai? Usi la definizione e vedi se esiste o meno. Ad esempio, sopra ho calcolato che nel punto $(1,0)$ la derivata rispetto a $x$ esiste e vale $0$.
Spero di essere stato più chiaro.
Ora sto andando a dormire, però riassumendo sappiamo che la funzione è derivabile per i punti in cui $x!=+-1$.
Se $x=+-1$, il teorema non ci assicura niente (per ciò che ho già spiegato), allora dobbiamo controllare.
Ti lascio qui i limiti dei rapporti incrementali.
Nei punti del tipo $(1,y)$:
$(f(1+h,y)-f(1,y))/h=(|h|*|h+2|)/(h)*y$. L'incremento ovviamente è $h!=0$.
Perciò per studiare il limite per $hto0$, distinguiamo due casi:
1)$y=0$ ed è il caso già trattato: il rapporto incrementale è uguale a $0$, perciò ovviamente tende a $0$.
2)$y!=0$ ed il rapporto incrementale in un intorno di $0$ è dato da: ${((h+2)*y,if h>0),(-(h+2)*y,if h<0):}$.
Perciò, è evidente che il limite per $hto0$ del rapporto incrementale non esiste perché è diverso per $hto0^+$ e per $hto0^-$.
In sintesi, hai quindi che: $lim_(hto0)(f(1+h,y)-f(1,y))/h={(0,ify=0),(\nexists,ify!=0):}$
Nei punti del tipo $(-1,y)$:
il ragionamento è analogo, lascio a te farlo. C'è da meditarci un secondo su queste cose, ma ti renderai conto che è veramente semplice
Il risultato, se ho fatto i giusti calcoli, è $lim_(kto0)(f(-1+k,y)-f(-1,y))/k={(0,ify=0),(\nexists,ify!=0):}$.
Spero di esserti stato di aiuto.
Se $x=+-1$, il teorema non ci assicura niente (per ciò che ho già spiegato), allora dobbiamo controllare.
Ti lascio qui i limiti dei rapporti incrementali.
Nei punti del tipo $(1,y)$:
$(f(1+h,y)-f(1,y))/h=(|h|*|h+2|)/(h)*y$. L'incremento ovviamente è $h!=0$.
Perciò per studiare il limite per $hto0$, distinguiamo due casi:
1)$y=0$ ed è il caso già trattato: il rapporto incrementale è uguale a $0$, perciò ovviamente tende a $0$.
2)$y!=0$ ed il rapporto incrementale in un intorno di $0$ è dato da: ${((h+2)*y,if h>0),(-(h+2)*y,if h<0):}$.
Perciò, è evidente che il limite per $hto0$ del rapporto incrementale non esiste perché è diverso per $hto0^+$ e per $hto0^-$.
In sintesi, hai quindi che: $lim_(hto0)(f(1+h,y)-f(1,y))/h={(0,ify=0),(\nexists,ify!=0):}$
Nei punti del tipo $(-1,y)$:
il ragionamento è analogo, lascio a te farlo. C'è da meditarci un secondo su queste cose, ma ti renderai conto che è veramente semplice
Il risultato, se ho fatto i giusti calcoli, è $lim_(kto0)(f(-1+k,y)-f(-1,y))/k={(0,ify=0),(\nexists,ify!=0):}$.
Spero di esserti stato di aiuto.
Allora ho costruito i rapporti incrementali della mia funzione rispetto alla x; ottenedo:
$(f(x,y_0)-f(x_0,y_0))/(x-x_0)$ con $x_0=(1,0)$; ora q questo punto per vedere se la funzione risulta derivabile devo fare il limitre dalla destra e dalla sinistra e se coincidono la funzione sarà derivabile rispetto a $x$ nel punto $x_0$.
Ora $f(x,y_0)=0$ e lo stesso per la $f(x_0,y_0)$ giusto?
Quindi avrò che $lim_(x->1^+) (0)/(x-1)=0$ Corretto?
$(f(x,y_0)-f(x_0,y_0))/(x-x_0)$ con $x_0=(1,0)$; ora q questo punto per vedere se la funzione risulta derivabile devo fare il limitre dalla destra e dalla sinistra e se coincidono la funzione sarà derivabile rispetto a $x$ nel punto $x_0$.
Ora $f(x,y_0)=0$ e lo stesso per la $f(x_0,y_0)$ giusto?
Quindi avrò che $lim_(x->1^+) (0)/(x-1)=0$ Corretto?
Sì, esattamente. Ora devi controllare anche per $y!=0$.
Poi fai la stessa cosa per i punti $(-1,y)$.
In definitiva, la funzione è derivabile in $RR^2-A$, dove $A={(x,y)inRR^2|x=+-1,y!=0}$.
Quindi quando vai a studiare il sistema $\nablaf(x,y)=(0,0)$ per trovare i punti critici, devi imporre la limitazione $(x,y)!inA$.
Per i punti critici, studi l'hessiano e non c'è problema.
Per i punti appartenenti a $A$, come dicevamo ieri, non ha senso chiedere se sono critici poiché il gradiente non è definito. Per capire ci sono punti di minimo o massimo, devi per forza andare "a mano", risolvendo disuguaglianze. Ma non dovrebbe essere difficile considerando che $f(1,y)=0$ e $f(-1,y)=0$ e che $f(x,y)>0hArry>0$.
Poi fai la stessa cosa per i punti $(-1,y)$.
In definitiva, la funzione è derivabile in $RR^2-A$, dove $A={(x,y)inRR^2|x=+-1,y!=0}$.
Quindi quando vai a studiare il sistema $\nablaf(x,y)=(0,0)$ per trovare i punti critici, devi imporre la limitazione $(x,y)!inA$.
Per i punti critici, studi l'hessiano e non c'è problema.
Per i punti appartenenti a $A$, come dicevamo ieri, non ha senso chiedere se sono critici poiché il gradiente non è definito. Per capire ci sono punti di minimo o massimo, devi per forza andare "a mano", risolvendo disuguaglianze. Ma non dovrebbe essere difficile considerando che $f(1,y)=0$ e $f(-1,y)=0$ e che $f(x,y)>0hArry>0$.
Ora risolvo e posto; l'unica cosa ke volevo capire è; quando mi trovo in una situazione del genere i passi da seguire in ordine quali somo?
1)Determino il dominio della funzione
2)Vedo se la funzione è continua nel dominio se si allora procedo con lo studio delle derivate.Determinando i possibili punti di estremo relativo.
3)Studio eventuali punti che stanno sulla frontiera o in cui la funzione non è derivabile.Come faccio ad individuare subito questi punti?Non è che posso fare il rapporto incrementale in ogni punto
Riguardo all'ultimo passo come faccio a capire quando è necessario determinare la derivabilità o meno della funzione in un certa restrizione?
Allora sono arrivato a questa conclusione:
$(-1,0)$ e $(1,0)$ Punti di Sella
$(1,y)$ e $(-1,y)$ con $y>0$ Punti MINIMO RELATIVO
$(1,y)$ e $(-1,y)$ con $y<0$ Punti MASSIMO RELATIVO
1)Determino il dominio della funzione
2)Vedo se la funzione è continua nel dominio se si allora procedo con lo studio delle derivate.Determinando i possibili punti di estremo relativo.
3)Studio eventuali punti che stanno sulla frontiera o in cui la funzione non è derivabile.Come faccio ad individuare subito questi punti?Non è che posso fare il rapporto incrementale in ogni punto
Riguardo all'ultimo passo come faccio a capire quando è necessario determinare la derivabilità o meno della funzione in un certa restrizione?
Allora sono arrivato a questa conclusione:
$(-1,0)$ e $(1,0)$ Punti di Sella
$(1,y)$ e $(-1,y)$ con $y>0$ Punti MINIMO RELATIVO
$(1,y)$ e $(-1,y)$ con $y<0$ Punti MASSIMO RELATIVO
Sì, la conclusione dovrebbe essere giusta. Per quanto riguarda i punti in cui la funzione è derivabile, trovi prima i punti critici, se ce ne sono, come hai sempre fatto, e controlli quelli. (Ma in questo caso non ce ne sono perché ad esempio la derivata rispetto a $y$ si annulla proprio per i valori che abbiamo escluso)
Comunque, dove la funzione non è derivabile, non è che c'è un metodo "sicuro" per procedere. Dipende da caso a caso. Ma comunque, in generale, riesci a capirlo se in quei punti c'è un intorno in cui cadono sia punti negativi che positivi. Per i punti in cui intuisci che potrebbero esserci dei punti di minimo o massimo, devi dimostrarlo usando disuguaglianze.
Per quanto riguarda l'individuazione di punti non derivabili, basta che escludi tutti i punti in cui sicuramente sai che è derivabile e poi controlli i punti dubbi, che solitamente non sono mai così tanti.
Devi stare un po' attento ai casi particolari, insomma. Ad esempio se prendi $f(x)=|x-1|-x$ è ovvio che non è derivabile in $x=1$, perché hai $f'(x)={(0,ifx>1),(-2,ifx<1):}$. Quindi nel punto la funzione non è derivabile perché c'è un risultato che ci dice che una derivata può avere solo discontinuità di seconda specie. In questo caso, se esistesse invece, ne avrebbe una di prima specie.
Le derivate parziali effettivamente le puoi trattare come derivate a una variabile. Infatti, derivi rispetto a UNA variabile e le altre rimangono costanti.
Per il resto, c'è solo da ragionare un po'. Detto così in generale è più difficile che farlo. Posta un altro esempio in cui sei dubbioso e posso aiutarti.
Comunque, dove la funzione non è derivabile, non è che c'è un metodo "sicuro" per procedere. Dipende da caso a caso. Ma comunque, in generale, riesci a capirlo se in quei punti c'è un intorno in cui cadono sia punti negativi che positivi. Per i punti in cui intuisci che potrebbero esserci dei punti di minimo o massimo, devi dimostrarlo usando disuguaglianze.
Per quanto riguarda l'individuazione di punti non derivabili, basta che escludi tutti i punti in cui sicuramente sai che è derivabile e poi controlli i punti dubbi, che solitamente non sono mai così tanti.
Devi stare un po' attento ai casi particolari, insomma. Ad esempio se prendi $f(x)=|x-1|-x$ è ovvio che non è derivabile in $x=1$, perché hai $f'(x)={(0,ifx>1),(-2,ifx<1):}$. Quindi nel punto la funzione non è derivabile perché c'è un risultato che ci dice che una derivata può avere solo discontinuità di seconda specie. In questo caso, se esistesse invece, ne avrebbe una di prima specie.
Le derivate parziali effettivamente le puoi trattare come derivate a una variabile. Infatti, derivi rispetto a UNA variabile e le altre rimangono costanti.
Per il resto, c'è solo da ragionare un po'. Detto così in generale è più difficile che farlo. Posta un altro esempio in cui sei dubbioso e posso aiutarti.
Potremmo risolvere passo passo quest'esercizio:
$f(x,y)=|x-y|(x^2+y^2-1)$
$f(x,y)=|x-y|(x^2+y^2-1)$
Che richiede di fare l'esercizio? Vai, inizia a dare le idee.
L'esercizio richiede di ntrovare i punti di massimo e menimo relativi.
Vabbè, dai, inizia a studiare continuità e differenziabilità. Quando ti blocchi, posta qui.
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