Esercizio esame teorema residui

[lallo-votailprof]

ciao a tutti.. e grazie in anticipo a chi vorra aiutarmi.
Ad un esame è stato assegnato il seguente esercizio:

Giustificanto opportunamente tutte le affermazioni, calcolare il seguente integrale:

$ oint_([T]) [z^2*sin (2/z)+(z-1)/(z(z^2+3)^2)]dz $


dove $ T={z in CC : |z| = 3 } $

come bisogna procedere?

ho pesnato di calcolare due integrali, prima $ oint_([T]) [z^2*sin (2/z)]dz $ e poi $ oint_([T]) [(z-1)/(z(z^2+3)^2)]dz $
per poi sommare i due risultati , ma non sono in grado di calcolarli..

[ciampax]

Come hai pensato di calcolarli? Spero usando il teorema dei residui. Bene: cosa afferma tale Teorema?

[lallo-votailprof]

il teorema è questo: http://it.wikipedia.org/wiki/Residuo_al ... el_residuo

il problema è che non so calcolare il residuo di $ z^2 sin (2/z) $
se non sbaglio devo calcolare le singlolarita della funzione,
l'unica mi sembra essere z=0 che è di tipo essenziale in quanto $ lim_(z -> 0) z^2 sin(2/z) $ non esiste.( giusto?)
e quindi come calcolo il residuo?

[ciampax]

Nel link che hai postato dice come calcolare tale residuo. Se vuoi, puoi pensare alternativamente così. Sviluppando in serie la funzione seno ottieni

[tex]$\sin\frac{1}{z}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\cdot\frac{1}{z^{2n+1}}=\sum_{n=-\infty}^0 \frac{(-1)^n}{(1-2n)!} z^{2n-1}$[/tex]

e moltiplicando per $z^2$ si ha

[tex]$z^2\sin\frac{1}{z}=z^2\sum_{n=-\infty}^0 \frac{(-1)^n}{(1-2n)!} z^{2n-1}=\sum_{n=-\infty}^0 \frac{(-1)^n}{(1-2n)!} z^{2n+1}$[/tex]

ed avendosi $2n+1=-1$ per $n=-1$ segue che il residuo è [tex]$a_{-1}=\frac{(-1)^{-1}}{(1+2)!}=-\frac{1}{6}$[/tex]