Esercizio errore relativo di una funzione
Ciao a tutti, sono un nuovo iscritto del forum, ma da molto tempo consulto i vostri post risolvendo molti dubbi. Purtroppo mi sono trovato di fronte ad un esercizio di calcolo numerico in cui non riesco ad applicare la teoria studiata. In poche parole non riesco a trovare un metodo di risoluzione generale per questo tipo di esercizi:
Data la funzione f(x) = [tex]\sqrt[3]{x}[/tex]veri ficare che l'errore relativo che si commette approssimando f(8) con f(8,120601) è minore dell'errore relativo commesso nell'approssimare il dato esatto [tex]x[/tex] = 8 con [tex]\widetilde{x}[/tex] = 8,120601.
Analizzare quindi il condizionamento del calcolo della suddetta funzione e collegare a tale analisi quanto veri ficato.
Questo è un esempio di esercizio che non riesco a svolgere. Non ho ben capito come procedere per verificare al tesi.
Grazie in anticipo
Data la funzione f(x) = [tex]\sqrt[3]{x}[/tex]veri ficare che l'errore relativo che si commette approssimando f(8) con f(8,120601) è minore dell'errore relativo commesso nell'approssimare il dato esatto [tex]x[/tex] = 8 con [tex]\widetilde{x}[/tex] = 8,120601.
Analizzare quindi il condizionamento del calcolo della suddetta funzione e collegare a tale analisi quanto veri ficato.
Questo è un esempio di esercizio che non riesco a svolgere. Non ho ben capito come procedere per verificare al tesi.
Grazie in anticipo
Risposte
Un'idea potrebbe essere quella di sfruttare la concavità della radice.
Hai:
\[
\sqrt[3]{\tilde{x}} = \sqrt[3]{x+(\tilde{x}-x)} = \sqrt[3]{x}\ \sqrt[3]{1+ \frac{\tilde{x} -x}{x}}
\]
dunque:
\[
\tag{1}
\sqrt[3]{\tilde{x}} -\sqrt[3]{x} =\sqrt[3]{x}\ \underbrace{\left( \sqrt[3]{1+ \frac{\tilde{x} -x}{x}} -1\right)}_{\color{maroon}{=: f(\frac{\tilde{x} -x}{x})}} \; .
\]
La funzione all'ultimo membro:
\[
f(t) := \sqrt[3]{1+t} - 1
\]
è continua, derivabile e concava in \([0,\infty[\) ed ha \(f(0)=0\), dunque il suo grafico sta tutto sotto la retta tangente nel punto \((0,0)\), la quale ha equazione:
\[
s=f^\prime (0)\ t + f(0) = \frac{1}{3}\ t\; ;
\]
perciò si ha:
\[
\tag{2}
f(t)\leq \frac{1}{3}\ t\qquad \text{per } t\geq 0\; .
\]
Visto che \(\frac{\tilde{x} -x}{x} >0\), si può usare (2) per maggiorare l'ultimo membro di (1) trovando:
\[
\sqrt[3]{\tilde{x}} -\sqrt[3]{x} \leq \sqrt[3]{x}\ \frac{1}{3}\ \frac{\tilde{x} -x}{x} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\ (\tilde{x} -x)
\]
e da qui concludi.
Hai:
\[
\sqrt[3]{\tilde{x}} = \sqrt[3]{x+(\tilde{x}-x)} = \sqrt[3]{x}\ \sqrt[3]{1+ \frac{\tilde{x} -x}{x}}
\]
dunque:
\[
\tag{1}
\sqrt[3]{\tilde{x}} -\sqrt[3]{x} =\sqrt[3]{x}\ \underbrace{\left( \sqrt[3]{1+ \frac{\tilde{x} -x}{x}} -1\right)}_{\color{maroon}{=: f(\frac{\tilde{x} -x}{x})}} \; .
\]
La funzione all'ultimo membro:
\[
f(t) := \sqrt[3]{1+t} - 1
\]
è continua, derivabile e concava in \([0,\infty[\) ed ha \(f(0)=0\), dunque il suo grafico sta tutto sotto la retta tangente nel punto \((0,0)\), la quale ha equazione:
\[
s=f^\prime (0)\ t + f(0) = \frac{1}{3}\ t\; ;
\]
perciò si ha:
\[
\tag{2}
f(t)\leq \frac{1}{3}\ t\qquad \text{per } t\geq 0\; .
\]
Visto che \(\frac{\tilde{x} -x}{x} >0\), si può usare (2) per maggiorare l'ultimo membro di (1) trovando:
\[
\sqrt[3]{\tilde{x}} -\sqrt[3]{x} \leq \sqrt[3]{x}\ \frac{1}{3}\ \frac{\tilde{x} -x}{x} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\ (\tilde{x} -x)
\]
e da qui concludi.
Grazie mille, non avevo proprio pensato a studiare la funzione f(t).
Cercando di capire l'esercizio svolto, ho provato a risolvere un altro esercizio:
Studiare il condizionamento del calcolo della funzione f(x) = ln x ; per ogni x >0 e in particolare per x = \(\displaystyle \sqrt[10]{e} \).
\(\displaystyle f(\widetilde{x} ) = ( \ln(x+(\widetilde{x} - x )) = \ln(1 + (\frac{\widetilde{x} - x }{x} )) + lnx \)
\(\displaystyle f(\widetilde{x} ) - f(x) = \ln(1 + (\frac{\widetilde{x} - x }{x} )) \)
- Isolando \(\displaystyle \frac{\widetilde{x} - x }{x} = t \) studio la funzione: \(\displaystyle g(t) = \ln(1 + t ) \)
La quale è concova verso il basso e si azzera per t = 0:
\(\displaystyle s = g'(0)t + g(0) = t \)
A questo punto possiamo maggiorare \(\displaystyle f(\widetilde{x}) - f(x) \) a \(\displaystyle t \) visto che \(\displaystyle f(t) \leq t \):
\(\displaystyle f(\widetilde{x}) - f(x) \leq t \Rightarrow ln\widetilde{x} - lnx \leq \frac{\widetilde{x} - x }{x} \)
Se ho capito bene, a questo punto vadoa sostituire \displaystyle x = \sqrt[10]{e} \) :
\(\displaystyle ln\widetilde{x} - \frac{1}{10} \leq \frac{\widetilde{x}}{\sqrt[10]{e}} - 1 \Rightarrow ln\widetilde{x} \leq \frac{\widetilde{x}}{\sqrt[10]{e}} - \frac{9}{10}\)
L'esercizio è risolto nel modo corretto? sono arrivato alla giusta conclusione, oppure in questo tipo di esercizio devo procedere in maniera diversa?
Grazie ancora di tutto
Studiare il condizionamento del calcolo della funzione f(x) = ln x ; per ogni x >0 e in particolare per x = \(\displaystyle \sqrt[10]{e} \).
\(\displaystyle f(\widetilde{x} ) = ( \ln(x+(\widetilde{x} - x )) = \ln(1 + (\frac{\widetilde{x} - x }{x} )) + lnx \)
\(\displaystyle f(\widetilde{x} ) - f(x) = \ln(1 + (\frac{\widetilde{x} - x }{x} )) \)
- Isolando \(\displaystyle \frac{\widetilde{x} - x }{x} = t \) studio la funzione: \(\displaystyle g(t) = \ln(1 + t ) \)
La quale è concova verso il basso e si azzera per t = 0:
\(\displaystyle s = g'(0)t + g(0) = t \)
A questo punto possiamo maggiorare \(\displaystyle f(\widetilde{x}) - f(x) \) a \(\displaystyle t \) visto che \(\displaystyle f(t) \leq t \):
\(\displaystyle f(\widetilde{x}) - f(x) \leq t \Rightarrow ln\widetilde{x} - lnx \leq \frac{\widetilde{x} - x }{x} \)
Se ho capito bene, a questo punto vadoa sostituire \displaystyle x = \sqrt[10]{e} \) :
\(\displaystyle ln\widetilde{x} - \frac{1}{10} \leq \frac{\widetilde{x}}{\sqrt[10]{e}} - 1 \Rightarrow ln\widetilde{x} \leq \frac{\widetilde{x}}{\sqrt[10]{e}} - \frac{9}{10}\)
L'esercizio è risolto nel modo corretto? sono arrivato alla giusta conclusione, oppure in questo tipo di esercizio devo procedere in maniera diversa?
Grazie ancora di tutto
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