Esercizio: equazione differenziale (di bernoulli)
ciao a tutti,
ho un problema con un esercizio che chiede di trovare le soluzioni dell'equazione sottostante, che abbiano limite finito per $t->0$:
$t\dot{y} + 4(t^2 + 2/3)y = 8y^{1/4}$
per prima cosa ho osservato che deve essere $\forall t, y>=0$ affinchè possa esistere il termine a secondo membro.
per $t\ne0$, l'equazione si può riscrivere come:
$\dot{y} = - 4(t + 2/{3t})y + 8/ty^{1/4} = f(t,x)$
e osservo che $f \in C(R\\{0} \times [0, +\infty))$. quindi la soluzione all'equazione esiste ed è unica per $t>0$ e per $t<0$. in particolare, la soluzione stazionaria $y = 0, \forall t$ non può essere intersecata (al più ciò può avvenire in $t= 0$, dove la funzione $f$ non è definita).
passiamo ora alla risoluzione vera e propria.
l'equazione è una bernoulliana, quindi risolvo ponendo $z = y^{1-1/4} = y^{3/4}$, e ottengo:
$\dot{z}+(3t+2/t)z-6/t=0$
che è un'equazione lineare non omogenea che risolvo con questa formula: formula-risolutiva-equazioni-lineari-non-omogenee-t98221.html#p652891
ottengo allora ($c$, $d$, $k$ sono costanti):
$z = e^{-\int dt (3t + 2/t)} ( \int dt 6/t e^{\int dt (3t + 2/t)}+ c) =$
$ = {6e^{-3/2t^2}}/{t^2} (\int dt 1/t e^{3/2t^2}t^2 +d) $
se considero inizialmente solo il caso $t>0$, ottengo:
$z = 2/{t^2} + k{e^{-3/2t^2}}/{t^2} = y^{3/4}$
soluzioni di questa forma non hanno limite finito per $t->0$! a prescindere dal valore di $k$!
devo quindi concludere che l'unica soluzione che abbia limite per $t->0$ è la soluzione identicamente nulla? io ho però provato a disegnare il diagramma con un programmino online e mi ha disegnato più soluzioni che esistono per $t = 0$.
ho sbagliato qualcosa?
ho un problema con un esercizio che chiede di trovare le soluzioni dell'equazione sottostante, che abbiano limite finito per $t->0$:
$t\dot{y} + 4(t^2 + 2/3)y = 8y^{1/4}$
per prima cosa ho osservato che deve essere $\forall t, y>=0$ affinchè possa esistere il termine a secondo membro.
per $t\ne0$, l'equazione si può riscrivere come:
$\dot{y} = - 4(t + 2/{3t})y + 8/ty^{1/4} = f(t,x)$
e osservo che $f \in C(R\\{0} \times [0, +\infty))$. quindi la soluzione all'equazione esiste ed è unica per $t>0$ e per $t<0$. in particolare, la soluzione stazionaria $y = 0, \forall t$ non può essere intersecata (al più ciò può avvenire in $t= 0$, dove la funzione $f$ non è definita).
passiamo ora alla risoluzione vera e propria.
l'equazione è una bernoulliana, quindi risolvo ponendo $z = y^{1-1/4} = y^{3/4}$, e ottengo:
$\dot{z}+(3t+2/t)z-6/t=0$
che è un'equazione lineare non omogenea che risolvo con questa formula: formula-risolutiva-equazioni-lineari-non-omogenee-t98221.html#p652891
ottengo allora ($c$, $d$, $k$ sono costanti):
$z = e^{-\int dt (3t + 2/t)} ( \int dt 6/t e^{\int dt (3t + 2/t)}+ c) =$
$ = {6e^{-3/2t^2}}/{t^2} (\int dt 1/t e^{3/2t^2}t^2 +d) $
se considero inizialmente solo il caso $t>0$, ottengo:
$z = 2/{t^2} + k{e^{-3/2t^2}}/{t^2} = y^{3/4}$
soluzioni di questa forma non hanno limite finito per $t->0$! a prescindere dal valore di $k$!
devo quindi concludere che l'unica soluzione che abbia limite per $t->0$ è la soluzione identicamente nulla? io ho però provato a disegnare il diagramma con un programmino online e mi ha disegnato più soluzioni che esistono per $t = 0$.
ho sbagliato qualcosa?
Risposte
Secondo me ragioni male sul limite: se consideri gli ordini di infinitesimi e lo sviluppo della funzione esponenziale, il numeratore della soluzione diventa
$2+k-{3k}/2 t^2+0(t^2)$
e se $k=-2$ il limite della funzione vale $3$. (Parlo della $z$, ovviamente).
$2+k-{3k}/2 t^2+0(t^2)$
e se $k=-2$ il limite della funzione vale $3$. (Parlo della $z$, ovviamente).
cioè mi stai dicendo che... tutto il succo dell'esercizio è giusto e che ho solo sbagliato a calcolare il limite alla fine?
eh si... mi stai dicendo proprio questo!
non so che dire: ho fatto giusta la parte più "difficile" e ho sbagliato una cosa che dovrei saper fare ormai da anni
grazie ciampa
grazie in particolare per avermi dato velatamente certezza che ho fatto bene i conti per la prima parte
eh si... mi stai dicendo proprio questo!
non so che dire: ho fatto giusta la parte più "difficile" e ho sbagliato una cosa che dovrei saper fare ormai da anni
grazie ciampa
grazie in particolare per avermi dato velatamente certezza che ho fatto bene i conti per la prima parte
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