Esercizio equazione differenziale a variabili separabili
Salve a tutti, ho provato a svolgere il seguente esercizio ma nello svolgimento esce fuori un logaritmo con argomento minore di zero. Come posso risolvere??
$ { ( y'=(x+6)(y+5) ),( y(0)=-10 ):} $
Grazie per l'aiuto.
$ { ( y'=(x+6)(y+5) ),( y(0)=-10 ):} $
Grazie per l'aiuto.
Risposte
devi tenere conto dell'insieme in cui varia la y.
l'equazione è della forma $ y'=h(x)k(y) $ troviamo le soluzioni costanti annullando il termine in y. Scopriamo però y=-5 non risolve il problema di Cauchy. a questo punto per poter dividere e proseguire nella risoluzione del'integrale dobbiamo togliere il -5 per cui abbiamo che la y varia o in $ (- oo, -5 )oppure (-5, + oo ) $ . l'insieme da scegliere è il primo perchè -10 appartiene a questo insieme. qui il tuo logaritmo è ben definito perchè il logaritmo diventa $ log (-s-5) $
l'equazione è della forma $ y'=h(x)k(y) $ troviamo le soluzioni costanti annullando il termine in y. Scopriamo però y=-5 non risolve il problema di Cauchy. a questo punto per poter dividere e proseguire nella risoluzione del'integrale dobbiamo togliere il -5 per cui abbiamo che la y varia o in $ (- oo, -5 )oppure (-5, + oo ) $ . l'insieme da scegliere è il primo perchè -10 appartiene a questo insieme. qui il tuo logaritmo è ben definito perchè il logaritmo diventa $ log (-s-5) $
Grazie per la risposta, ma non ho ben capito. Il problema è che nel risolvere la relazione:
$ int_(-10)^(v(x)) 1/(s+5)ds=int_(0)^(x) t+6 dt $
e in particolare il primo integrale, viene fuori $ log(v(x)+5)-log(-10+5) $ , ed è l argomento del secondo logaritmo a creare il problema. Sto sbagliando qualcosa e non lo vedo??
$ int_(-10)^(v(x)) 1/(s+5)ds=int_(0)^(x) t+6 dt $
e in particolare il primo integrale, viene fuori $ log(v(x)+5)-log(-10+5) $ , ed è l argomento del secondo logaritmo a creare il problema. Sto sbagliando qualcosa e non lo vedo??
tenendo conto delle condizioni iniziali, l'insieme in cui varia v(x) è $ (-oo , -5) $ .
concentriamoci ora sull'argomento del logaritmo ovvero |s+5|. dalla definizione di modulo abbiamo che
$ f(x)={ ( log (s+5) ) ,( log (-s-5) ):} $ a seconda della positività dell'argomento del modulo ovvero se $ s+5>0 rArr s> -5 $
il nostro insieme è invece $ (-oo ,-5) $ dove l'argomento del modulo è negativo, perciò devo prendere la seconda "forma" che ti ho scritto nel sistema. quella è ben definita e non avrai problemi con il logaritmo!
concentriamoci ora sull'argomento del logaritmo ovvero |s+5|. dalla definizione di modulo abbiamo che
$ f(x)={ ( log (s+5) ) ,( log (-s-5) ):} $ a seconda della positività dell'argomento del modulo ovvero se $ s+5>0 rArr s> -5 $
il nostro insieme è invece $ (-oo ,-5) $ dove l'argomento del modulo è negativo, perciò devo prendere la seconda "forma" che ti ho scritto nel sistema. quella è ben definita e non avrai problemi con il logaritmo!
Ora ho capito! Grazie mille
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