Esercizio equazione alle differenze finite di secondo grado

[jona_at]

Ciao a tutti, volevo chiedervi una mano a risolvere questo esercizio, che mi è appena capitato all'esame e non sono riuscito a risolvere per un banale problema di calcolo.
Dunque: la consegna è la seguente:

Determinare la soluzione generale della seguente equazione alle differenze finite del secondo ordine al variare del parametro $alpha != 0$ :

$2x_(t+2) - (4alpha + 3)x_(t+1) + 6alphax_t = 0$

Dunque scrivo l'equazione caratteristica:

$ 2x^2 - (4alpha + 3)x +6alpha = 0$

Le cui soluzioni sono date da:

$x_(1,2) = (4alpha + 3 +- sqrt((4alpha + 3)^2 - 48))/(4)$

Per semplificare il determinante provo a cercarne le soluzioni ponendolo a zero.
Ottengo:

$16alpha^2 + 24alpha - 39 = 0$

E qui arriva il problema. Le soluzioni di $alpha$ mi vengono improbabili. Un mio compagno di corso ha detto che il determinante si poteva riscrivere:

$(4alpha - 3)^2$

o qualcosa del genere, che ad ogni modo messo sotto la radice nella soluzione per $x$ semplificava non poco la vita.
Non ho capito se sbaglio a impostare così l'equazione caratteristica oppure non riesco banalmente a risolvere l'equazione di secondo grado (nel cui caso mi potrei anche sparare...). Mi riuscite a dire dove sbaglio? Grazie!

[ciampax]

Il tuo compagno di corso dovrebbe ristudiarsi le decomposizioni e le equazioni di secondo grado!
L'equazione che hai scritto ha come soluzioni
$$\alpha=\frac{3}{4}\pm \sqrt{3}$$
Cosa c'è di "improbabile"?