Esercizio: eq. diff. nello spazio delle distribuzioni.
Ciao a tutti!
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un esercizio dal corso di Matematica per la Fisica. L'esercizio è stato assegnato durante la trattazione della teoria delle distribuzioni e ne sono stati risolti di simili ricorrendo al calcolo di funzioni di Green, passando attraverso la trasformata di Fourier, etc. Vorrei avere una vostra opinione su questo:
trovare la soluzione generale dell'equazione $x^2*u'(x) = pv(1/x)$, dove $u'(x)$ indica la derivata di $u$ e $pv(1/x)$ è la parte principale di $1/x$.
La risposta è $u(x) = c1 + c2*theta(x) + c3*delta(x) - 1/2*fp(1/x^2)$, dove $c1$, $c2$, $c3$ sono costanti, $theta(x)$ è la funzione di Heaviside e $fp(1/x^2)$ è la parte finita di $1/x^2$.
Grazie in anticipo per i vostri suggerimenti!
Marco
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un esercizio dal corso di Matematica per la Fisica. L'esercizio è stato assegnato durante la trattazione della teoria delle distribuzioni e ne sono stati risolti di simili ricorrendo al calcolo di funzioni di Green, passando attraverso la trasformata di Fourier, etc. Vorrei avere una vostra opinione su questo:
trovare la soluzione generale dell'equazione $x^2*u'(x) = pv(1/x)$, dove $u'(x)$ indica la derivata di $u$ e $pv(1/x)$ è la parte principale di $1/x$.
La risposta è $u(x) = c1 + c2*theta(x) + c3*delta(x) - 1/2*fp(1/x^2)$, dove $c1$, $c2$, $c3$ sono costanti, $theta(x)$ è la funzione di Heaviside e $fp(1/x^2)$ è la parte finita di $1/x^2$.
Grazie in anticipo per i vostri suggerimenti!
Marco
Risposte
Poniamo per comodità [tex]$u' = w$[/tex], e risolviamo prima il problema della divisione, grazie ai teoremi ad essa relativi, abbiamo che [tex]$w(x) = pv \frac{1}{x^3} + c_1 \delta(x) + c_2\delta'(x)$[/tex].
Rimane ora da risolvere il problema differenziale, cioè dobbiamo trovare [tex]$u$[/tex] tale che [tex]$u' = w$[/tex], ma questo vuol dire che [tex]$ = \quad \forall v \in D(\mathbb{R})$[/tex].
La definizione di derivata distribuzionale ci porta a dire che [tex]$ = -$[/tex], in pratica se riusciamo scrivere il funzionale [tex]$$[/tex], in modo tale da ottenere un equivalente applicato a [tex]$v'$[/tex] abbiamo il risultato.
[tex]$ = \int_\mathbb{R} \frac{1}{x^3} v(x)dx$[/tex], integrando per parti si ottiene [tex]$\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{x^2} v'(x)dx = $[/tex]
[tex]$<\delta',v> = -v'(0) = <-\delta, v'>$[/tex]
Il problema rimane per [tex]$<\delta, v>$[/tex], dobbiamo "integrare la delta", cioè dobbiamo risolvere l'equazione differenziale distribuzionale [tex]$z'=\delta$[/tex]. Utilizziamo la trasformata di Fourier (dato che la delta è anche una distribuzione temperata), dunque otteniamo [tex]$i\xi \hat z = 1$[/tex] da cui otteniamo [tex]$\hat z = pv \frac{1}{i\xi} + a\delta(\xi) = pv \frac{1}{i\xi} + \pi \delta(\xi) + b\delta(\xi) $[/tex] da cui si ottiene [tex]$z(x) = \theta(x) + b$[/tex], che conclude il tutto poichè [tex]$=-=<\delta,v>$[/tex].
Ricomponiamo il risultato, e data l'arbitrarietà delle costanti (i segni non sono rilevanti), si ottiene [tex]$u(x) = c_3 + c_2\delta(x) + c_1\theta(x) - \frac{1}{2}pv\frac{1}{x^2}$[/tex].
Io l'avrei risolto così il quesito, non so se questa è la strada più breve/corretta.
Rimane ora da risolvere il problema differenziale, cioè dobbiamo trovare [tex]$u$[/tex] tale che [tex]$u' = w$[/tex], ma questo vuol dire che [tex]$
La definizione di derivata distribuzionale ci porta a dire che [tex]$
[tex]$
[tex]$<\delta',v> = -v'(0) = <-\delta, v'>$[/tex]
Il problema rimane per [tex]$<\delta, v>$[/tex], dobbiamo "integrare la delta", cioè dobbiamo risolvere l'equazione differenziale distribuzionale [tex]$z'=\delta$[/tex]. Utilizziamo la trasformata di Fourier (dato che la delta è anche una distribuzione temperata), dunque otteniamo [tex]$i\xi \hat z = 1$[/tex] da cui otteniamo [tex]$\hat z = pv \frac{1}{i\xi} + a\delta(\xi) = pv \frac{1}{i\xi} + \pi \delta(\xi) + b\delta(\xi) $[/tex] da cui si ottiene [tex]$z(x) = \theta(x) + b$[/tex], che conclude il tutto poichè [tex]$
Ricomponiamo il risultato, e data l'arbitrarietà delle costanti (i segni non sono rilevanti), si ottiene [tex]$u(x) = c_3 + c_2\delta(x) + c_1\theta(x) - \frac{1}{2}pv\frac{1}{x^2}$[/tex].
Io l'avrei risolto così il quesito, non so se questa è la strada più breve/corretta.
Grazie per la risposta.
Vorrei chiederti un chiarimento. Quando parli del problema della divisione dici 'grazie ai teoremi ad essa relativi, abbiamo che...'; potresti specificare a quali teoremi ti riferisci, cioè quali risultati consideri noti (per esempio, da dove viene la $delta'(x)$) e, se non chiedo troppo, darmi una breve spiegazione?
Grazie mille!
Vorrei chiederti un chiarimento. Quando parli del problema della divisione dici 'grazie ai teoremi ad essa relativi, abbiamo che...'; potresti specificare a quali teoremi ti riferisci, cioè quali risultati consideri noti (per esempio, da dove viene la $delta'(x)$) e, se non chiedo troppo, darmi una breve spiegazione?
Grazie mille!
Trovare una distribuzione [tex]$u$[/tex] tale per cui [tex]$\phi(x) u(x) = f(x)$[/tex], con [tex]$f$[/tex] distribuzione e [tex]$\phi$[/tex] funzione [tex]$C^\infty$[/tex] non è banale, infatti, risulta essere banale se $\phi$ non si annulla mai, in questo caso essendo [tex]$1/\phi$[/tex] ancora una funzione [tex]$C^\infty$[/tex]allora è facile ottenere [tex]$u = f/\phi$[/tex].
Nel caso in cui [tex]$\phi$[/tex] abbia degli zeri isolati il discorso si complica. Con un esempio semplice [tex]$x u(x) = 0$[/tex], le possibili soluzioni per [tex]$u$[/tex] sono [tex]$c \delta(x)$[/tex]. Un altro esempio [tex]$x^k u(x) = 0$[/tex], ammette come soluzioni [tex]$c \delta^{(r)}(x)$[/tex], con [tex]$0\le r < k$[/tex], cioè tutte le derivate della delta di ordine fino a [tex]$k-1$[/tex], anche una combinazione lineare di queste delta è ancora una soluzione.
Quello che si riesce a dimostrare è che una distribuzione [tex]$u$[/tex] che soddisfa [tex]$\phi(x) u(x) = f(x)$[/tex] con [tex]$f$[/tex] distribuzione e [tex]$\phi$[/tex] funzione [tex]$C^\infty$[/tex] è nella forma [tex]$u(x) = \frac{f}{\phi} + \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{\nu_i - 1} c_{ij}\delta^{(j)}(x-x_i)$[/tex], dove [tex]$x_i$[/tex] sono gli zeri della funzione [tex]$\phi$[/tex] e [tex]$\nu_i$[/tex] è la molteplicità algebrica dello zero.
(Ovviamente il rapporto [tex]$\frac{f}{\phi}$[/tex] è da intendersi [tex]$p.v. \frac{f}{\phi}$[/tex])
Questo è il risultato finale in breve, per giungere a questo ci sono tutta una serie di passaggi intermedi prima per risolvere il problema omogeneo e poi quello completo, un po' come una equazione differenziale.
Tutta la prima parte viene trattata bene (io ho usato questo testo) nel Gilardi, "Analisi 3", su questo manca la dimostrazione del teorema completo, ci sono tutte le parti prima che poi permettono componendole di concluderle.
Nel caso in cui [tex]$\phi$[/tex] abbia degli zeri isolati il discorso si complica. Con un esempio semplice [tex]$x u(x) = 0$[/tex], le possibili soluzioni per [tex]$u$[/tex] sono [tex]$c \delta(x)$[/tex]. Un altro esempio [tex]$x^k u(x) = 0$[/tex], ammette come soluzioni [tex]$c \delta^{(r)}(x)$[/tex], con [tex]$0\le r < k$[/tex], cioè tutte le derivate della delta di ordine fino a [tex]$k-1$[/tex], anche una combinazione lineare di queste delta è ancora una soluzione.
Quello che si riesce a dimostrare è che una distribuzione [tex]$u$[/tex] che soddisfa [tex]$\phi(x) u(x) = f(x)$[/tex] con [tex]$f$[/tex] distribuzione e [tex]$\phi$[/tex] funzione [tex]$C^\infty$[/tex] è nella forma [tex]$u(x) = \frac{f}{\phi} + \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{\nu_i - 1} c_{ij}\delta^{(j)}(x-x_i)$[/tex], dove [tex]$x_i$[/tex] sono gli zeri della funzione [tex]$\phi$[/tex] e [tex]$\nu_i$[/tex] è la molteplicità algebrica dello zero.
(Ovviamente il rapporto [tex]$\frac{f}{\phi}$[/tex] è da intendersi [tex]$p.v. \frac{f}{\phi}$[/tex])
Questo è il risultato finale in breve, per giungere a questo ci sono tutta una serie di passaggi intermedi prima per risolvere il problema omogeneo e poi quello completo, un po' come una equazione differenziale.
Tutta la prima parte viene trattata bene (io ho usato questo testo) nel Gilardi, "Analisi 3", su questo manca la dimostrazione del teorema completo, ci sono tutte le parti prima che poi permettono componendole di concluderle.
Grazie per le puntualizzazioni e i riferimenti!
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