Esercizio dubbio - n. complessi, trigonometria, esponenti

[ansioso]

buon giorno a tutti ho un dubbio su questo eser che ha svolto il prof a lezione...

$(1+i)^{9}=(\sqrt{2}(\cos (\pi/4)+i \sin (\pi/4)) )^{9}=\sqrt{2}^{9}(\cos (\pi/4)+i \sin (\pi/4))^9=16\sqrt(2)(\cos (9/4 \pi) + i \sin (9/4\pi))=16\sqrt(2)(\cos (\pi/4 ) + i \sin (\pi/4))=16\sqrt(2)(\sqrt(2)/2+i \sqrt(2)/2)= 16+16i&^$
Diciamo che ho capito quasi tutto tranne
Secondo quale formula o proprietà delle potenze $(\cos (\pi/4)+i \sin (\pi/4))^9$ diventa $(\cos (9/4 \pi) + i \sin (9/4\pi))$??

grazie per il tempo dedicatomi...

[stefano_89]

non l' avevo mai visto quell' ultimo passaggio per la potenza nona. Comunque penso venga dalla proprietà dell' esponenziale complesso:
$e^(jw) = (cos(w) + isen(w))$

quindi con la regola della potenza di potenza, quel 9 ti finisce a moltiplicare $w$

[pater46]

Chiamasi formula di De Moivre.

Deriva dal prodotto di numeri complessi espressi in forma trigonometrica, per cui vale che:
- il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli
- l'argomento del prodotto è la somma degli argomenti

Si prova facilmente, comunque.

[ansioso]

ma ke lol ...

$z^n=\rho^n(\cos \ n \theta + i \sin \ n \theta )$

non ci avevo pensato!

Grazie