Esercizio Distribuzioni Temperate con derivata 2a
Ciao a tutti!
Sono nuova di questo forum e ho bisogno del vostro aiuto per svolgere un esercizio sulle distribuzioni temperate con derivata seconda.
Ho provato diverse volte ma senza successo!
Testo dell'esercizio:
Det. in S'(R) la soluz. dell'equaz. differenziale [tex]d^2T/dx^2 + T = \delta[/tex]
Grazie!!
Sono nuova di questo forum e ho bisogno del vostro aiuto per svolgere un esercizio sulle distribuzioni temperate con derivata seconda.
Ho provato diverse volte ma senza successo!
Testo dell'esercizio:
Det. in S'(R) la soluz. dell'equaz. differenziale [tex]d^2T/dx^2 + T = \delta[/tex]
Grazie!!
Risposte
Suppongo tu debba applicare le trasformate di Fourier per risolvere il problema. Per cui basta semplicemente chiedersi: qual è la trasformata della delta di Dirac? E la trasformata di una derivata? La cosa diventa molto semplice, se sai rispondere a queste due domande.
Ciao, in realtà quando svolgo esercizi di questo tipo ricorro alle proprietà delle distribuzioni....cercando le soluzioni particolari omogenee (T0, T1) che sommate restituiscono la soluzione generale T richiesta...
Ciao..quancuno potrebbe darmi una dritta su come procedere?
Se avessi avuto la derivata prima, avrei posto il primo membro uguale a zero e successivamente ne avrei ricavato il logartitmo di T0 e infine T0, ma con la derivata seconda ho dei dubbi !!!!
Grazie!
Se avessi avuto la derivata prima, avrei posto il primo membro uguale a zero e successivamente ne avrei ricavato il logartitmo di T0 e infine T0, ma con la derivata seconda ho dei dubbi !!!!
Grazie!
Ma il suggerimento di ciampax cos'ha che non va? E' sicuramente il sistema più rapido e semplice per risolvere il problema. E che c'entra il discorso che fai nell'ultimo post...? Mi pare di capire che ti riferisci al metodo di variazione delle costanti, ma perché ti devi complicare la vita così?
Ho visto la correzione di uno scritto fatta del prof e li svolge in questo modo. Ho anche alcuni esercizi passati da colleghi con questo procedimento...a questo punto i miei dubbi sono aumentati!!! Aiuto!!!
Non è che mi potreste spiegare l'altro metodo?
Grazie!!
Non è che mi potreste spiegare l'altro metodo?
Grazie!!
Ma almeno provaci, a prendere la trasformata di Fourier di ambo i membri. Guarda come diventa facile l'esercizio. Cosa te ne importa di quello che dicono i colleghi!!! Per definizione, i colleghi di studio dicono fesserie [size=75](*)[/size], lasciali perdere e ragiona con la tua testa.
_________
(*) Dico sul serio.
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(*) Dico sul serio.
"dissonance":
Ma almeno provaci, a prendere la trasformata di Fourier di ambo i membri. Guarda come diventa facile l'esercizio. Cosa te ne importa di quello che dicono i colleghi!!! Per definizione, i colleghi di studio dicono fesserie [size=75](*)[/size], lasciali perdere e ragiona con la tua testa.
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(*) Dico sul serio.
Mi permetto di correggere questa tua affermazione: i colleghi di studio, per definizione, dicono le più grosse fesserie possibili!
Scusatemi ma non credo che dipenda dai colleghi ma dal prof...!!
Qualcuno mi potrebbe spiegare l'altro metodo? Grazie !!!!
Qualcuno mi potrebbe spiegare l'altro metodo? Grazie !!!!
Ma scusa, lo sai che [tex]$\mathcal{F}(y^{(n)})=(-i\omega)^n \mathcal{F}(y)$[/tex] e che [tex]$\mathcal{F}(\delta(x-x_0))=e^{-ix_0\omega}$[/tex]?
La prima formula l'ho ritrovata tra gli appunti 'distrib temperate', ma la seconda no.
So di chiedere molto, ma potresti farmi un esempio di esercizio con svolgimento, giusto per capire come applicarla!
Ti ringrazio anticipatamente!!!!
So di chiedere molto, ma potresti farmi un esempio di esercizio con svolgimento, giusto per capire come applicarla!
Ti ringrazio anticipatamente!!!!
Qualcuno potrebbe aiutarmi a svolgere l'esercizio che ho inizialmente inserito con il secondo metodo che mi è stato consigliato?
Grazie!!!!
Grazie!!!!
La seconda formula viene dalla definizione di funzione Delta di Dirac: infatti
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x-x_0)\ dx=f(x_0)$[/tex]
Per l'esercizio in questione, basta usare le formule che ti ho detto: posto [tex]$u=\mathcal{T}$[/tex] si ha
[tex]$-\omega^2 u+u=1$[/tex] (in questo caso $x_0=0$),
per cui
[tex]$u(\omega)=\frac{1}{1-\omega^2}$[/tex]
Adesso basta trovare l'antitrasformata di Fourier di questa funzione e hai finito.
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x-x_0)\ dx=f(x_0)$[/tex]
Per l'esercizio in questione, basta usare le formule che ti ho detto: posto [tex]$u=\mathcal{T}$[/tex] si ha
[tex]$-\omega^2 u+u=1$[/tex] (in questo caso $x_0=0$),
per cui
[tex]$u(\omega)=\frac{1}{1-\omega^2}$[/tex]
Adesso basta trovare l'antitrasformata di Fourier di questa funzione e hai finito.
[mod="dissonance"]@mic: Forse non te ne sei accorto ma su questo forum non sono consentite sollecitazioni tipo "UP" prima di 24 ore dall'ultimo post. Vedi regolamento (clic). Evita che si ripeta oppure dovremo prendere provvedimenti.[/mod]
Vedo che eri già stato avvertito riguardo gli "UP" e nonostante questo hai continuato a farne. Allora come abitudine in questi casi chiudo questo thread per 24 ore. Aggiungo che questo non ti comporta il minimo danno, visto che ciampax ti ha quasi completamente risolto l'esercizio.
[mod="dissonance"]Sbloccato.[/mod]
[mod="dissonance"]Sbloccato.[/mod]
Ciao a tutti.... ho provato a svolgere l'esercizio con la trasformata di fourier per le distribuzioni come mi avevi detto....ho calcolato l'antitrasformata e mi riporta [tex]\pi{e^{-|\omega|}}[/tex]. E' corretto? Grazie
A me è risultato [tex]$\frac{\text{sign}(x)}{2}\sin(x)$[/tex], hai confuso l'antitrasformata di [tex]$\frac{1}{1-\xi^2}$[/tex] con quella di [tex]$\frac{1}{1+\xi^2}$[/tex].
Ciao...ho riprovato a ricalcolare l'antitrasformata di Fourier ma ho un risultato leggermente diverso da quanto indicato da Ska...
Ho seguito questo procedimento: [tex]f(x)={1 \over \sqrt{2\pi}}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{e^{ikx}\over (1-k^2)} \, dx } = {1 \over \sqrt{2\pi}} 2i\pi \sum Res \tilde{f}[/tex]
Ora...per [tex]k=\pm 1; Res (\tilde{f},1)= {e^{ix}\over 2} ; Res (\tilde{f},-1)= -{e^{-ix}\over 2}[/tex]
[tex]f(x)= {1 \over \sqrt{2\pi}} 2i\pi [{e^{ix}\over 2}-{e^{-ix}\over 2}] = - {1 \over \sqrt{2\pi}} 2\pi {{e^{ix}-e^{-ix}}\over 2i}} = -sin (x){{2\pi}\over \sqrt{2\pi}} = - {\sqrt{2\pi} sin(x)}[/tex]
Grazie
Ho seguito questo procedimento: [tex]f(x)={1 \over \sqrt{2\pi}}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{e^{ikx}\over (1-k^2)} \, dx } = {1 \over \sqrt{2\pi}} 2i\pi \sum Res \tilde{f}[/tex]
Ora...per [tex]k=\pm 1; Res (\tilde{f},1)= {e^{ix}\over 2} ; Res (\tilde{f},-1)= -{e^{-ix}\over 2}[/tex]
[tex]f(x)= {1 \over \sqrt{2\pi}} 2i\pi [{e^{ix}\over 2}-{e^{-ix}\over 2}] = - {1 \over \sqrt{2\pi}} 2\pi {{e^{ix}-e^{-ix}}\over 2i}} = -sin (x){{2\pi}\over \sqrt{2\pi}} = - {\sqrt{2\pi} sin(x)}[/tex]
Grazie
Mi spiace... ma puoi verificare banalmente che quella proposta da te non è soluzione dell'equazione differenziale di partenza...
Io ho proceduto così [tex]$\hat u(\xi) = \frac{1}{1-\xi^2} = \frac{1/2}{1-\xi} + \frac{1/2}{1+\xi}$[/tex], a questo punto ricordando che [tex]$\mathcal{F}[sgn(x)](\xi) = \frac{2}{i\xi}$[/tex] allora si ha che [tex]$u(x) = \frac{sgn(x)}{4i}(e^{ix} - e^{-ix}) = \frac{sgn(x)}{2}\sin (x)$[/tex]
P.S. La trasformata da cui siamo partiti è stata ottenuta con la definizione di trasformata [tex]$\hat u(\xi) = \int_{\mathbb{R}} u(x) e^{-i\xi x} dx$[/tex]
Io ho proceduto così [tex]$\hat u(\xi) = \frac{1}{1-\xi^2} = \frac{1/2}{1-\xi} + \frac{1/2}{1+\xi}$[/tex], a questo punto ricordando che [tex]$\mathcal{F}[sgn(x)](\xi) = \frac{2}{i\xi}$[/tex] allora si ha che [tex]$u(x) = \frac{sgn(x)}{4i}(e^{ix} - e^{-ix}) = \frac{sgn(x)}{2}\sin (x)$[/tex]
P.S. La trasformata da cui siamo partiti è stata ottenuta con la definizione di trasformata [tex]$\hat u(\xi) = \int_{\mathbb{R}} u(x) e^{-i\xi x} dx$[/tex]
Correggimi se sbaglio..ma, mi sembra che tu non abbia svolto utilizzando l'antitrasformata di fourier...giusto?
Che io sappia la formula dell'antitrasformata è : [tex]u(x)=\displaystyle\int_{R} {\tilde{u}(\xi)}e^{ix\xi} d\xi[/tex]
Che io sappia la formula dell'antitrasformata è : [tex]u(x)=\displaystyle\int_{R} {\tilde{u}(\xi)}e^{ix\xi} d\xi[/tex]
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