Esercizio disequazioni n.4a

[koloko]

L'esercizio chiede di risolvere la disequazione
$\frac{2x-1}{x-3} \leq \frac{x+1}{x-1}$
Il risultato del libro è $1
Io ho iniziato facendo
$\frac{(2x-1)(x-1)}{(x-1)(x-3)} \leq \frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x-3)}$
eliminando il denominatore mi rimaneva
$(2x-1)(x-1) \leq (x+1)(x-3)$ che non ha alcuna soluzione.
Ricordando che sul libro Tecnos dedicato alle disequazioni c'erano delle regole da rispettare circa l'eliminazione del denominatore, gli ho dato un'occhiata, dopodiché ho provato a risolvere la disequazione di uno dei due mcm del denominatore
$x^2-4x+3 \leq 0$
e ho visto che il risultato era proprio $1 Che correlazione c'è tra questo risultato e quello generale della disequazione data come traccia dell'esercizio?

[axpgn]

Non mi ricordo granché delle disequazioni di 2° grado però ... dato che $x-1$ è positivo per $x>1$ e $x-3$ è positivo per $x>3$ allora sarà $(x-1)(x-3)>0$ per $x<1 ^^ x>3$ e negativo per $1 Perciò avrai due sistemi così fatti:

${((2x-1)(x-1)<=(x+1)(x-3)),(x<1 ^^ x>3):}$

e

${((2x-1)(x-1)>=(x+1)(x-3)),(1

da cui

${(2x^2+1-3x<=x^2-3-2x),(x<1 ^^ x>3):}$ $\ \ \ $ ${(x^2-x+4<=0),(x<1 ^^ x>3):}$

che non ha soluzioni, mentre l'altro

${(2x^2+1-3x>=x^2-3-2x),(1=0),(1
ha come soluzione proprio $1

Cordialmente, Alex

[21zuclo]

no io non facevo mica tutti questi passaggi.. mi ricordo che il denominatore NON va buttato via..

IN GENERALE se hai questo tipo di disequazione $ (ax+b)/(cx+d)>0 $

è la stessa cosa che chiedere questo sistema $ { ( ax+b>0 ),( cx+d>0 ):} $

facendo lo studio del segno trovi la soluzione..

la stessa cosa hai tu qui.. $ (2x-1)/(x-3)\leq (x+1)/(x-1)\to (2x-1)/(x-3)-(x+1)/(x-1)\leq0 $

fai i calcoli, riducila in forma canonica..

e poi studi il numeratore e denominatore..e poi trovi le soluzioni..

[axpgn]

@21zuclo
Piccolo particolare: quella generale che hai scritto è un'unica frazione, in quella di partenza ce ne sono due ... ora per arrivare ad una sola frazione si deve moltiplicare per qualcosa e, purtroppo, in una disequazione quando moltiplichi devi tener conto del segno del denominatore, ma se moltiplichi per l'incognita, in generale, a priori non lo sai; e quindi come la mettiamo? Mettiamo che ci facciamo un bel sistemino che tiene conto dei diversi casi?
Poi, l'ho detto, non mi ricordo granché quindi ci saranno delle formule risolutive, ma in quello che hai detto tu era implicito quello che ho detto io ( e se non lo era ... mmm ... )

Cordialmente, Alex