Esercizio Dini

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Ragazzi qlkuno di buona volontà mi puo' dire cm si risolve il seguente esercizio:

Dimostrare che se 0 <= x, y, z <= 1 e x + y + z = 1 allora
x^2 + y^2 + z^2 >= 1/3

Penso che si risolva cn il teorema del Dini ma nn so cm

[mod="Martino"]Per favore cerca di postare nella sezione giusta. Se il tuo problema riguarda il teorema di Dini posta in analisi. Inoltre per favore scrivi in italiano corretto, evita il linguaggio mutuato dagli sms. Sposto in "Analisi matematica"[/mod]

[gugo82]

In effetti è un esercizio di minimo vincolato: ti si chiede di far vedere che il minimo della funzione $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ ristretta al "vincolo" $S:=\{ (x,y,z)\in RR^3: 0<=x,y,z<=1, x+y+z=1\}$ è $>=1/3$.

Prova coi moltiplicatori di Lagrange, è molto semplice.

[salvozungri]

Non so se può andare come dimostrazione, la posto così qualcuno può correggermi:

Sappiamo che $x,y,z>=0$ quindi possiamo applicare la disuguaglianza $AM-GM$. Si ha quindi:
$x^2+y^2+z^2>= 3(x^2 y^2 z^2)^(1/3)$
L'uguaglianza vale solo se $x=y=z$ per cui da $x+y+z= 1$ otteniamo che $x=y=z= 1/3$ di conseguenza:
$x^2+y^2+z^2>= 3(1/3)^(6/3)= 1/3$

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"Gugo82":In effetti è un esercizio di minimo vincolato: ti si chiede di far vedere che il minimo della funzione $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ ristretta al "vincolo" $S:=\{ (x,y,z)\in RR^3: 0<=x,y,z<=1, x+y+z=1\}$ è $>=1/3$.

Prova coi moltiplicatori di Lagrange, è molto semplice.

Io ho provato con i moltiplicatori di lagrange, e mi è venuto così:

$L(x,y,z,c)=x^2+y^2+z^2+c(x+y+z-1)$

Da qui ho impostato un sistema con le seguenti equazioni:

$2x+c=0$
$2y+c=0$
$2z+c=0$
$x+y+z-1=0$

Risolvendo il sistema ottengo:

$x=1/3$ $y=1/3$ $z=1/3$ $c=-2/3$

Ora come proseguo???

[salvozungri]

Dovresti costruire la matrice Hessiana, valutarla nel punto ottenuto e calcoli il determinante della matrice ottenuta. Dovresti trovare sugli appunti i passaggi precisi. Oppure su internet si trova qualcosina, cerca

[snippox]

Grzie ai vostri consigli ho risolto..thanks