Esercizio dimostrazione per induzione

[ElisaZucchini]

Buongiorno a tutti,
ho provato a risolvere il seguente esercizio: arrivo fino ad un certo punto ma poi mi blocco

Dimostrare, per induzione, che , per ogni $ nin N, n>= 1, a(1),...,a(n)in R $
$ (sum_(k = \1,...,n) a(k))^2<= nxx sum_(k = \1,...,n) (a(k))^2 $

Qualcuno riesce a darmi gentilmente una mano?

Grazie mille

[pilloeffe]

Ciao ElisaZucchini,

Benvenuta sul forum!

Riscrivo la relazione che devi dimostrare in una notazione un po' più "umana"...

$ (\sum_{k = 1}^n a_k)^2 <= n \sum_{k = 1}^n a_k^2 $

Vediamo cosa succede per $n = 1 $:

$a_1^2 <= a_1^2 $

In tal caso la relazione è vera col simbolo di uguaglianza.
Per $ n = 2 $ si ha:

$(a_1 + a_2)^2 <= 2 (a_1^2 + a_2^2) $

$a_1^2 + 2 a_1 a_2 + a_2^2 <= 2a_1^2 + 2a_2^2 $

$ 0 <= (a_1 - a_2)^2 $

e quest'ultima è senz'altro vera.
Per $n = 3 $ si ha:

$(a_1 + a_2 + a_3)^2 <= 3 (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) $

$a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + 2a_1 a_2 + 2a_1 a_3 + 2 a_2 a_3 <= 3 a_1^2 + 3 a_2^2 + 3 a_3^2 $

$ 2a_1 a_2 + 2a_1 a_3 + 2 a_2 a_3 <= 2 a_1^2 + 2 a_2^2 + 2 a_3^2 $

$ 0 <= (a_1 - a_2)^2 + (a_1 - a_3)^2 + (a_2 - a_3)^2$

ed anche quest'ultima è senz'altro vera. A questo punto supponi che la relazione da dimostrare sia vera per $n = h $ e dimostri che è vera per $n = h + 1 $

[ElisaZucchini]

Grazie mille! Il problema sta proprio a questo punto:suppongo sia vera per n,devo dimostrare la validità per n+1.
Scompongo la prima sommatoria come segue:
$ sum_(k=1,..,n+1) a_(k)=sum_(k=1,...,n) a_k+a_(n+1) $
A questo punto svolgo il quadrato di $ sum_(k=1,..,n+1) a_k$ e utilizzo l'ipotesi induttiva,ovvero la validità dell'enunciato per n e trovo la seguente scrittura:
$ (sum_(k=1,..,n+1) a_k)^2=(a_(n+1))^2 + (sum_(k=1,..,n) a_k)^2+2a_(n+1)sum_(k=1,..,n)a_k<= (a_(n+1))^2 + n(sum_(k=1,..,n) (a_k)^2)+2a_(n+1)sum_(k=1,..,n)a_k$

Arrivata a questo punto non so come andare avanti

[pilloeffe]

Farei così:

$(\sum_{k=1}^{n+1}a_k)^2 = (\sum_{k=1}^n a_k+a_{n+1})^2=(\sum_{k=1}^n a_k)^2+2a_{n+1}\sum_{k=1}^n a_k+a_{n+1}^2 <= $
$ <= n \sum_{k=1}^n a_k^2+2a_{n+1}\sum_{k=1}^n a_k+a_{n+1}^2 = (n+1)\sum_{k=1}^{n+1}a_k^2 - \sum_{k=1}^n (a_k^2 - 2a_ka_{n+1} + a_{n+1}^2) - a_{n+1}^2 = $
$ = (n+1)\sum_{k=1}^{n+1}a_k^2 - \sum_{k=1}^n (a_k - a_{n+1})^2 - a_{n+1}^2 <= (n+1) \sum_{k=1}^{n+1} a_k^2 $

Dimostrazione alternativa, sfruttando la disuguaglianza $GM <= AM $:

$a_k (a_1 + a_2 + ... + a_k + ... + a_n) = \sum_{j = 1}^n a_k a_j <= \sum_{j = 1}^n 1/2 (a_k^2 + a_j^2) = n/2 a_k^2 + 1/2 \sum_{j = 1}^n a_j^2 $

Ora, dato che $(\sum_{k = 1}^n a_k)^2 = \sum_{k = 1}^n a_k (a_1 + a_2 + ... + a_n) $, si ha:

$(\sum_{k = 1}^n a_k)^2 <= n/2 \sum_{k = 1}^n a_k^2 + n/2 \sum_{j = 1}^n a_j^2 = n \sum_{k = 1}^n a_k^2 $

Dimostrazione veloce, sfruttando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

$ (\sum_{k = 1}^n a_k b_k)^2 <= (\sum_{k = 1}^n b_k^2) \cdot (\sum_{k = 1}^n a_k^2) $

Basta considerare $b_k = 1 $, per $k = 1, 2, ..., n $.